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2013届高考数学复习--高考模拟(9)数列

  • 类别:高三数学练习试题
  • 考试:高考
  • 格式:Word
  • 属性:高考模拟
  • 文件大小:3,891.40 KB
  • 整理时间:2012-09-20 12:36:27
试题简介 (浏览次数:1079)

【3年高考2年模拟】第六章数列  第一部分  三年高考题荟萃

2012年高考 数列

一、选择题
1.(2012辽宁文)在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10= (  )
A.12 B.16 C.20 D.24
2 .(2012辽宁理)在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11= (  )
A.58 B.88 C.143 D.176
3 .(2012四川文)设函数 , 是公差不为0的等差数列, ,则  (  )
A.0 B.7 C.14 D.21
4 .(2012四川理)设函数 , 是公差为 的等差数列, ,则  (  )
A.  B.  C.     D.
5 .(2012上海文)若 ,则在 中,正数的
个数是 (  )
A.16. B.72. C.86. D.100.
6 .(2012上海理)设 , . 在 中,正数的个数是 (  )
A.25. B.50. C.75. D.100.
7 .(2012课标文)数列{ }满足 ,则{ }的前60项和为 (  )
A.3690 B.3660 C.1845 D.1830
8.(2012江西文)观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4 , |x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8, |x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12 .则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为 (  )
A.76 B.80 C.86 D.92
9 .(2012湖北文)定义在 上的函数 ,如果对于任意给定的等比数列 仍是等比数列,则称 为“保等比数列函数”.现有定义在 上的如下函数:① ;② ;③ ;④ .
则其中是“保等比数列函数”的 的序号为 (  )
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
10 .(2012福建文)数列 的通项公式 ,其前 项和为 ,则 等于 (  )
A.1006 B.2012                 C.503 D.0
11 .(2012大纲文)已知数列 的前 项和为 , , ,则  (  )
A.  B.  C.  D.
12 .(2012北京文理)某棵果树前 年得总产量 与 之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前 年的年平均产量最高, 的值为 (  )
A.5 B.7 
C.9 D.11 
13.(2012北京文)已知 为等比数列.下面结论中正确的是 (  )
A.  B. 
C.若 ,则  D.若 ,则
14.(2012安徽文)公比为2的等比数列{ } 的各项都是正数,且    =16,则  (  )
A.  B.  C.  D.
15 .(2012新课标理)已知 为等比数列, , ,则  (  )
A.  B.  C.  D.
16 .(2012浙江理)设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和,则下列命题错误的是 (  )
A.若d<0,则数列{S n}有最大项
B.若数列{S n}有最大项,则d<0
C.若数列{S n}是递增数列,则对任意的n N*,均有S n>0
D.若对任意的n N*,均有S n>0,则数列{S n}是递增数列
17 .(2012重庆理)在等差数列 中, ,则 的前5项和 = (  )
A.7 B.15 C.20 D.25
18 .(2012江西理)观察下列各式:a+b=1.a²+b2=3,a3+b3=4 ,a4+b4=7,a5+b5=11,,则a10+b10= (  )
A.28 B.76 C.123 D.199
19 .(2012湖北理)定义在 上的函数 ,如果对于任意给定的等比数列 ,  仍
是等比数列,则称 为“保等比数列函数”. 现有定义在 上的如下函
数:① ;   ② ;    ③ ;    ④ .
则其中是“保等比数列函数”的 的序号为 (  )
A.① ② B.③ ④ C.① ③ D.② ④ 
1 0.(2012福建理)等差数列 中, ,则数列 的公差为 (  )
A.1 B.2 C.3 D.4
21.(2012大纲理)已知等差数列 的前 项和为 ,则数列 的前100项和为 (  )
A.  B.  C.  D.
22.(2012安徽理)公比为 等比数列 的各项都是正数,且 ,则 (  )
A.  B.  C.  D.
二、填空题
1.(2012福建理)已知 得三边长成公比为 的等比数列,则其最大角的余弦值为_________.
2.(2012重庆文)首项为1,公比为2的等比数列的前4项和 ______
3.(2012上海文)已知 .各项均为正数的数列 满足 , .若
 ,则 的值是_________.
4.(2012辽宁文)已知等比数列{an}为递增数列.若a1>0,且2(a n+a n+2)=5a n+1 ,则数列{an}的公比q = _____________________.
5.(2012课标文)等比数列{ }的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比 =_______
6.(2012江西文)等比数列 的前 项和为 ,公比不为1。若 ,且对任意的 都有 ,则 _________________。
7.(2012湖南文)对于 ,将 表示为 ,当 时 ,当 时 为0或1,定义 如下:在 的上述表示中,当 , 中等于1的个数为奇数时, ;否则 。
(1) _     _;
(2)记 为数列 中第 个为0的项与第 个为0的项之间的项数,则 的最大值是___.
8.(2012湖北文)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:
 
将三角形数1,3, 6,10,记为数列 ,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列 ,可以推测:
(Ⅰ) 是数列 中的第______项;     (Ⅱ) ______.(用 表示)
9.(2012广东文)(数列)若等比数列 满足 ,则 _________.
10.(2012北京文)已知 为等差数列, 为其前 项和.若 , ,则 ________; =________.
11.(2012新课标理)数列 满足 ,则 的前 项和为_______
12.(2012浙江理)设公比为q(q>0)的等比数列{a n}的前n项和为{S n}.若  
 , ,则q=______________.
13.(2012上海春)已知等差数列 的首项及公差均为正数,令 当 是数列 的最大项时, ____.
14.(2012辽宁理)已知等比数列 为递增数列,且 ,则数列的通项公式 ______________.
15.(2012江西理)设数列 都是等差数列,若 ,则 __________。
16.(2012湖南理)设N=2n(n∈N*,n≥2),将N个数x1,x2,,xN依次放入编号为1,2,,N的N个位置,得到排列P0=x1x2xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前 和后 个位置,得到排列P1=x1x3xN-1x2x4xN,将此操作称为C变换,将P1分成两段,每段 个数,并对每段作C变换,得到 ;当2≤i≤n-2时,将Pi分成2i段,每段 个数,并对每段C变换,得到Pi+1,例如,当N=8时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时x7位于P2中的第4个位置.
(1)当N=16时,x7位于P2中的第___个位置;
(2)当N=2n(n≥8)时,x173位于P4中的第___个位置.
17.(2012湖北理)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,,99.3位回文数有90个:101,111,121,,191,202,,999.则
(Ⅰ)4位回文数有__________个;
(Ⅱ) 位回文数有_________个.
18.(2012广东理)(数列)已知递增的等差数列 满足 , ,则 ______________.
19.(2012福建理)数列 的通项公式 ,前 项和为 ,则 ___________.
20.(2012北京理)已知 为等差数列, 为其前 项和.若 , ,则 ________.

三、解答题
1.(2012重庆文)(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分))已知  为等差数列,且 (Ⅰ)求数列 的通项公式;(Ⅱ)记 的前 项和为 ,若 成等比数列,求正整数 的值.


2.(2012浙江文)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn= ,n∈N﹡,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N﹡.
(1)求an,bn;
(2)求数列{an•bn}的前n项和Tn.


3.(2012天津文)(本题满分13分)已知 是等差数列,其前 项和为 , 是等比数列,且 .
(I)求数列 与 的通项公式;
(II)记 ( )证明: .

4.(2012四川文)已知 为正实数, 为自然数,抛物线 与 轴正半轴相交于点 ,设 为该抛物线在点 处的切线在 轴上的截距.
(Ⅰ)用 和 表示 ;
(Ⅱ)求对所有 都有 成立的 的最小值;
(Ⅲ)当 时,比较 与
 的大小,并说明理由.

 

5.(2012四川文)已知数列 的前 项和为 ,常数 ,且 对一切正整数 都成立.
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)设 , ,当 为何值时,数列 的前 项和最大?

 

 

6.(2012上海文)对于项数为m的有穷数列数集 ,记 (k=1,2,,m),即
为 中的最大值,并称数列 是 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是
1,3,3,5,5.
(1)若各项均为正整数的数列 的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的 ;
(2)设 是 的控制数列,满足 (C为常数,k=1,2,,m).
求证: (k=1,2,,m);
(3)设m=100,常数 .若 , 是 的控制数列,
求 .


7.(2012陕西文)已知等比数列 的公比为q=- .
(1)若 = ,求数列 的前n项和;
(Ⅱ)证明:对任意 , , , 成等差数列.


8.(2012山东文)已知等差数列 的前5项和为105,且 .
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)对任意 ,将数列 中不大于 的项的个数记为 .求数列 的前m项和 .

 

9.(2012江西文)已知数列|an|的前n项和 (其中c,k为常数),且a2=4,a6=8a3
(1)求an;
(2)求数列{nan}的前n项和Tn.

 


10.(2012湖南文)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.
(Ⅰ)用d表示a1,a2,并写出 与an的关系式;
(Ⅱ)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).

 

11、(2012湖北文)已知等差数列 前三项的和为 ,前三项的积为 .
(1) 求等差数列 的通项公式;
(2)若 成等比数列,求数列 的前 项和.

12.(2012广东文)(数列)设数列 的前 项和为 ,数列 的前 项和为 ,满足 ,  .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)求数列 的通项公式.


13.(2012福建文)在等差数列 和等比数列 中, 的前10项和 .
(Ⅰ)求 和 ;
(Ⅱ)现分别从 和 的前3项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项的值相等的概率.

 

14.(2012大纲文)已知数列 中, ,前 项和 .
(Ⅰ)求 ;
(Ⅱ)求 的通项公式.

 

15.(2012安徽文)设函数 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 .
(Ⅰ)求数列 ;
(Ⅱ)设 的前 项和为 ,求 .


16.(2012辽宁理)在 中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列.
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)边a,b,c成等比数列,求 的值.

17.(2012山东文)(本小题满分12分)
在△ABC中,内角 所对的边分别为 ,已知 .
(Ⅰ)求证: 成等比数列;
(Ⅱ)若 ,求△ 的面积S.


18.(2012辽宁文)在 中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列.
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)边a,b,c成等比数列,求 的值.

 


19.(2012天津理)已知{ }是等差数列,其前 项和为 ,{ }是等比数列,且 =
 , , .
(Ⅰ)求数列{ }与{ }的通项公式;
(Ⅱ)记 , ,证明  .

 

20.(2012新课标理)已知 分别为 三个内角 的对边,
(1)求     (2)若 , 的面积为 ;求 .

 


21.(2012重庆理)(本小题满分12分,(I)小问5分,(II)小问7分.)
设数列 的前 项和 满足 ,其中 .
(I)求证: 是首项为1的等比数列;
(II)若 ,求证: ,并给出等号成立的充要条件.


22.(2012四川理)已知 为正实数, 为自然数,抛物线 与 轴正半轴相交于点 ,设 为该抛物线在点 处的切线在 轴上的截距.
(Ⅰ)用 和 表示 ;
(Ⅱ)求对所有 都有 成立的 的最小值;
(Ⅲ)当 时,比较 与 的大小,并说明理由.


23.(2012四川理)已知数列 的前 项和为 ,且 对一切正整数 都成立.
(Ⅰ)求 , 的值;
(Ⅱ)设 ,数列 的前 项和为 ,当 为何值时, 最大?并求出 的最大值.

 

24.(2012上海理)对于数集 ,其中 , ,定义向量集
 . 若对于任意 ,存在 ,使得 ,则称X
具有性质P. 例如 具有性质P.
(1)若x>2,且 ,求x的值;
(2)若X具有性质P,求证:1?X,且当xn>1时,x1=1;
(3)若X具有性质P,且x1=1,x2=q(q为常数),求有穷数列 的通
项公式.

 


25.(2012上海春)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
已知数列 满足
(1)设 是公差为 的等差数列.当 时,求 的值;
(2)设 求正整数 使得一切 均有
(3)设 当 时,求数列 的通项公式.

26.(2012陕西理)设 的公比不为1的等比数列,其前 项和为 ,且 成等差数列.
(1)求数列 的公比;
(2)证明:对任意 , 成等差数列.

27.(2012山东理)在等差数列 中, .
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)对任意 ,将数列 中落入区间 内的项的个数记为 ,求数列  的前 项和 .

 

28.(2012江西理)已知数列{an}的前n项和 ,且Sn的最大值为8.
(1)确定常数k,求an;
(2)求数列 的前n项和Tn.

 

 


29.(2012江苏)设集合 , .记 为同时满足下列条件的集合 的个数:
① ;②若 ,则 ;③若 ,则 .
(1)求 ;
(2)求 的解析式(用 表示).


30.(2012江苏)已知各项均为正数的两个数列 和 满足: , ,
(1)设 , ,求证:数列 是等差数列;
(2)设 , ,且 是等比数列,求 和 的值.

 


31.(2012湖南理)已知数列{an}的各项均为正数,记A(n)=a1+a2++an,B(n)=a2+a3++an+1,C(n)=a3+a4++an+2,n=1,2。
(1) 若a1=1,a2=5,且对任意n∈N﹡,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列{ an }的通项公式.
(2) 证明:数列{ an }是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意 ,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.

 


32.(2012湖北理)已知等差数列 前三项的和为 ,前三项的积为 .
(Ⅰ)求等差数列 的通项公式;
(Ⅱ)若 , , 成等比数列,求数列 的前 项和.

 


23.(2012广东理)设数列 的前 项和为 ,满足 ,  ,且 、 、 成等差数列.
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)求数列 的通项公式;
(Ⅲ)证明:对一切正整数 ,有 .

34.(2012大纲理)(注意:在试卷上作答无效)
函数 .定义数列 如下: 是过两点 的直线 与 轴交点的横坐标.
(1)证明: ;
(2)求数列 的通项公式.


35.(2012北京理)设A是由 个实数组成的 行 列的数表,满足:每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零.记 为所有这样的数表构成的集合.
对于 ,记 为A的第 行各数之和 , 为A的第 列各数之和 ;
记 为 , ,…, , , ,…, 中的最小值.
(1)对如下数表A,求 的值;
1 1 -0.8
0.1 -0.3 -1

(2)设数表A= 形如
1 1 1
    -1

求 的最大值;
(3)给定正整数 ,对于所有的A∈S(2, ),求 的最大值。
36.(2012安徽理)数列 满足:
(I)证明:数列 是单调递减数列的充分必要条件是
(II)求 的取值范围,使数列 是单调递增数列.

 

参考答案
一、选择题
1.  【答案】B
【解析】 
 ,故选B
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、同时考查运算求解能力,属于容易题.
2、  【答案】B
【解析】在等差数列中, ,答案为B
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式,同时考查运算求解能力,属于中档题.解答时利用等差数列的性质快速又准确.
3.  [答案]D
[解析]∵ 是公差不为0的等差数列,且 
∴ 
∴ 
∴ 
[点评]本小题考查的知识点较为综合,既考查了高次函数的性质又考查了等差数列性质的应用,解决此类问题必须要敢于尝试,并需要认真观察其特点.
4、  [答案]D
[解析]∵数列{an}是公差为 的等差数列,且 
∴ 
∴   即  
得 
∴  
[点评]本题难度较大,综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用,需考生加强知识系统、网络化学习. 另外, 隐蔽性较强,需要考生具备一定的观察能力.
5.  [解析] 令 ,则 ,当1≤n≤14时,画出角序列n?终边如图,
其终边两两关于x轴对称,故有 均为正数,
而 ,由周期性可知,当14k-13≤n≤14k时,Sn>0,
而 ,其中k=1,2,,7,所以在 中有14个为0,其余
都是正数,即正数共有100-14=86个,选C.
6、  [解析] 对于1≤k≤25,ak≥0(唯a25=0),所以Sk(1≤k≤25)都为正数.
当26≤k≤49时,令 ,则 ,画出k?终边如右,
其终边两两关于x轴对称,即有 ,
所以 + ++ + +0
+ + + 
= + ++ + +
+ ,其中k=26,27,,49,此时 ,
所以 ,又 ,所以 ,
从而当k=26,27,,49时,Sk都是正数,S50=S49+a50=S49+0=S49>0.
对于k从51到100的情况同上可知Sk都是正数. 综上,可选D.
[评注] 本题中数列难于求和,可通过数列中项的正、负匹配来分析Sk的符号,为此,需借助分类讨论、数形结合、先局部再整体等数学思想.而重中之重,是看清楚角序列的终边的对称性,此为攻题之关键.
7.  【命题意图】本题主要考查灵活运用数列知识求数列问题能力,是难题.
【解析】【法1】有题设知
 =1,①     =3  ②       =5  ③      =7, =9,
 =11, =13, =15, =17, =19, ,

∴②-①得 =2,③+②得 =8,同理可得 =2, =24, =2, =40,,
∴ , , ,,是各项均为2的常数列, , , ,是首项为8,公差为16的等差数列,
∴{ }的前60项和为 =1830.
【法2】可证明:
 
 
8.  【答案】B
【解析】本题主要为数列的应用题,观察可得不同整数解的个数可以构成一个首先为4,公差为4的等差数列,则所求为第20项,可计算得结果.
9.  C  【解析】设数列 的公比为 .对于①, ,是常数,故①符合条件;对于②, ,不是常数,故②不符合条件;对于③, 
 ,是常数,故③符合条件;对于④,  ,不是常数,故④不符合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选C.
【点评】本题考查等比数列的新应用,函数的概念.对于创新性问题,首先要读懂题意,然后再去利用定义求解,抓住实质是关键.来年需要注意数列的通项,等比中项的性质等.
10.  【答案】A
【解析】由 ,可得 
 
【考点定位】本题主要考察数列的项、前n项和,考查数列求和能力,此类问题关键是并项求和.
11.  答案B
【命题意图】本试题主要考查了数列中由递推公式求通项公式和数列求和的综合运用.
【解析】由 可知,当 时得 
当 时,有   ①    ②
①-②可得 即 ,故该数列是从第二项起以 为首项,以 为公比的等比数列,故数列通项公式为  ,
故当 时, 
当 时, ,故选答案B
12.  【答案】C
【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快,超过平均值,所以应该加入,因此选C.
【考点定位】 本小题知识点考查很灵活,要根据图像识别看出变化趋势,判断变化速度可以用导数来解,当然此题若利用数学估计过于复杂,最好从感觉出发,由于目的是使平均产量最高,就需要随着 的增大, 变化超过平均值的加入,随着 增大, 变化不足平均值,故舍去.
13. 【答案】B
【解析】当 时,可知 ,所以A选项错误;当 时,C选项错误;当 时, ,与D选项矛盾.因此根据均值定理可知B选项正确.
【考点定位】本小题主要考查的是等比数列的基本概念,其中还涉及了均值不等式的知识,如果对于等比数列的基本概念(公比的符号问题)理解不清,也容易错选,当然最好选择题用排除法来做.
14. 【解析】选  
15、  【解析】选  , 或 
 
 
16、  【答案】C
【解析】选项C显然是错的,举出反例:—1,0,1,2,3,.满足数列{S n}是递增数列,但是S n>0不成立.
17、  【答案】B
【解析】 , ,故 .
【考点定位】本题考查等差数列的通项公式及前 项和公式,解题时要认真审题,仔细解答.
18、  C【解析】本题考查归纳推理的思想方法.
观察各等式的右边,它们分别为1,3,4,7,11,,
发现从第3项开始,每一项就是它的前两项之和,故等式的右边依次为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,,
故 
【点评】归纳推理常常可借助前几项的共性来推出一般性的命题.体现考纲中要求了解归纳推理.来年需要注意类比推理等合情推理.
19、  考点分析:本题考察等比数列性质及函数计算.
解析:等比数列性质, ,① ; ② ;③ ;④ .选C
20、  【答案】B
【解析】 ,而 ,解得 .
【考点定位】该题主要考查等差数列的通项公式,考查计算求解能力.
21、答案A
【命题意图】本试题主要考查等差数列的通项公式和前 项和的公式的运用,以及裂项求和的综合运用,通过已知中两项,得到公差与首项,得到数列的通项公式,并进一步裂项求和.
【解析】由 可得
 
 
 
22、 【解析】选 
 

二、填空题
1. 【答案】 
【解析】设最小边为 ,则其他两边分别为 ,由余弦定理得,最大角的余弦值为
 
【考点定位】此题主要考查三角形中的三角函数,等比数列的概念、余弦定理,考查分析推理能力、运算求解能力.
2. 【答案】:15
【解析】: 
【考点定位】本题考查等比数列的前n项和公式
3. [解析]  (*), ,所以有: , , , ,
 ;又 ,得 ,令 ,则 ,
由题设 ,所以 ,变形(*)为 ,则 ,故
 ,所以 .
4. 【答案】2
【解析】 
因为数列为递增数列,且 
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式,转化思想和逻辑推理能力,属于中档题.
5. 【命题意图】本题主要考查等比数列n项和公式,是简单题.
【解析】当 =1时, = , = ,由S3+3S2=0得, =0,∴ =0与{ }是等比数列矛盾,故 ≠1,由S3+3S2=0得, ,解得 =-2.
6. 【答案】11
【解析】由已知可得公比 ,可得 .
【考点定位】本题考查了等比数列的通项公式,以及求和公式,做题时要细心.
7. 【答案】(1)3;(2)2.
【解析】(1)观察知 ; ;
一次类推 ; ;
 ; , , ,
b2+b4+b6+b8=3;(2)由(1)知cm的最大值为2.
【点评】本题考查在新环境下的创新意识,考查运算能力,考查创造性解决问题的能力.
需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题.
8. (Ⅰ)5030;(Ⅱ) 【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,,的一个通项公式为 ,写出其若干项有:1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,110,故 .
从而由上述规律可猜想: ( 为正整数),
 ,
故 ,即 是数列 中的第5030项.
【点评】本题考查归纳推理,猜想的能力.归纳推理题型重在猜想,不一定要证明,但猜想需要有一定的经验与能力,不能凭空猜想.来年需注意类比推理以及创新性问题的考查.
9.解析: . ,所以 .
10. 【答案】1, 
【解析】 ,所以 , .
【考点定位】 本小题主要考查等差数列的基本运算,考查通项公式和前 项和公式的计算.
11、 【解析】 的前 项和为 
可证明: 
 
12、 【答案】 
【解析】将 , 两个式子全部转化成用 ,q表示的式子.
即 ,两式作差得: ,即: ,解之得: (舍去).
13、    
14、 【答案】 
【解析】 
 
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式,转化思想和逻辑推理能力,属于中档题.
15、  35【解析】本题考查等差中项的性质及整体代换的数学思想 
(解法一)因为数列 都是等差数列,所以数列 也是等差数列.
故由等差中项的性质,得 ,即 ,解得 .
(解法二)设数列 的公差分别为 ,
因为 ,
所以 .所以 .
【点评】对于等差数列的计算问题,要注意掌握基本量法这一通法,同时要注意合理使用等差数列的性质进行巧解. 体现考纲中要求理解等差数列的概念.来年需要等差数列的通项公式,前 项和,等差中项的性质等.
16、 【答案】(1)6;(2) 
【解析】(1)当N=16时,
 ,可设为 ,
 ,即为 ,
 ,即 , x7位于P2中的第6个位置,;
(2)方法同(1),归纳推理知x173位于P4中的第 个位置.
【点评】本题考查在新环境下的创新意识,考查运算能力,考查创造性解决问题的能力.
需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题.
17、考点分析:本题考查排列、组合的应用.
解析:(Ⅰ)4位回文数只用排列前面两位数字,后面数字就可以确定,但是第一位不能为0,有9(1~9)种情况,第二位有10(0~9)种情况,所以4位回文数有 种.
答案:90
(Ⅱ)法一、由上面多组数据研究发现,2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同,所以可以算出2n+2位回文数的个数.2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况,第一位不能为0有9种情况,后面n项每项有10种情况,所以个数为 .
法二、可以看出2位数有9个回文数,3位数90个回文数.计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,99”,因此四位数的回文数有90个按此规律推导 ,而当奇数位时,可以看成在偶数位的最中间添加0~9这十个数,因此 ,则答案为 .
18、解析: .设公差为 ( ),则有 ,解得 ,所以 .
19、 【答案】 
【解析】由 ,可得 
 
【考点定位】本题主要考察数列的项、前n项和,考查数列求和能力,此类问题关键是并项求和.
20、 【答案】1, 
【解析】 ,所以 , .
【考点定位】 本小题主要考查等差数列的基本运算,考查通项公式和前 项和公式的计算.

三、解答题
1. 【答案】:(Ⅰ)  (Ⅱ) 
【解析】(Ⅰ)设数列  的公差为d,由题意知   解得 
所以 
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得   因  成等比数列,所以   从而   ,即   
解得  或 (舍去),因此  .
2. 【命题意图】本题主要考查等比数列、等差数列的概念,通项公式以及求和公式等基础知识,同时考查了学生的综合分析问题能力和运算求解能力.
(1) 由Sn= ,得
当n=1时, ;
当n 2时,  ,n∈N﹡.
由an=4log2bn+3,得 ,n∈N﹡.
(2)由(1)知 ,n∈N﹡
所以 ,
 ,
 
 
 ,n∈N﹡.
3.解:(1)设等差数列 的公差为 ,等比数列 的公比为 ,由 ,得 ,由条件得方程组 ,故 
(2)证明;由(1)得
  ①
   ②
由①-②得,
 
即 ,而当 时, 
所以 
4. [解析](1)由已知得,交点A的坐标为 ,对 
则抛物线在点A处的切线方程为:
  
(2)由(1)知f(n)= ,则 
即知, 对于所有的n成立,
特别地,当n=1时,得到a≥3
当a=3,n≥1时, 
当n=0时, =2n+1.故a=3时 对所有自然数n均成立.
所以满足条件的a的最小值为3 
(3)由(1)知f(k)= 
下面证明: 
首先证明0<x<1时, 
设函数g(x)=6x(x2-x)+1,0<x<1,  则 .
当 时,g'(x)<0;   当 
故g(x)在区间(0,1)上的最小值 
所以,当0<x<1时,g(x)>0,即得 
由0<a<1知 
 
 
[点评]本小题属于高档题,难度较大,需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识;考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力;且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法.

5. [解析]取n=1,得 
若a1=0,则s1=0, 当n 
若a1 , 当n  
上述两个式子相减得:an=2an-1,所以数列{an}是等比数列
综上,若a1 = 0,   
若a1  
(2)当a1>0,且 
所以,{bn}单调递减的等差数列(公差为-lg2)
则 b1>b2>b3>>b6= 
当n≥7时,bn≤b7= 
故数列{lg }的前6项的和最大 
[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一,知识层面:考查等差数列、等比数列、对数等基础知识;第二,能力层面:考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力;第三,数学思想:考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.
6. [解](1)数列 为:2, 3, 4, 5, 1;2, 3, 4, 5, 2;2, 3, 4, 5, 3;
2, 3, 4, 5, 4;2, 3, 4, 5, 5 
(2)因为 , ,
所以  
因为 , ,
所以 ,即  
因此,  
(3)对 , ; ;
 ; .
比较大小,可得  
因为 ,所以 ,即 ;
 ,即 .
又 ,
从而 , , ,  
因此 


= = =   
7.  解:(1)由通项公式可得
 
(2)证明:
 
8.解:(I)由已知得:     解得 ,
所以通项公式为 .
(II)由 ,得 ,即 .
∵ ,∴ 是公比为49的等比数列,
∴ .
9. 【解析】 (1)当 时, 
则 
 , 
 ,∴c=2.∵a2=4,即 ,解得k=2,∴ (n)1)
当n=1时, 
综上所述 
(2)  ,则
 (1)-(2)得
 
 
10. 【解析】(Ⅰ)由题意得 ,
 ,
 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 
 
 
 
 .
整理得  
 .
由题意, 
解得 .
故该企业每年上缴资金 的值为缴 时,经过 年企业的剩余资金为4000元.
【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用,考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型,得出 与an的关系式 ,第二问,只要把第一问中的 迭代,即可以解决.
11.考点分析:考察等差等比数列的通项公式,和前n项和公式及基本运算.
解析:(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ,则 , ,
由题意得  解得 或                 
所以由等差数列通项公式可得
 ,或 .
故 ,或 .                                         
(Ⅱ)当 时, , , 分别为 , , ,不成等比数列;
当 时, , , 分别为 , , ,成等比数列,满足条件.
故  
记数列 的前 项和为 .
当 时, ;当 时, ;
当 时,
   
 . 当 时,满足此式.
综上,  
【点评】本题考查等差数列的通项,求和,分段函数的应用等;考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式 求解;有时需要利用等差数列的定义: ( 为常数)或等比数列的定义: ( 为常数, )来判断该数列是等差数列或等比数列,然后再求解通项;有些数列本身不是等差数列或等比数列,但它含有无数项却是等差数列或等比数列,这时求通项或求和都需要分段讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质.
12.解析:(Ⅰ)当 时, ,而 ,所以 ,解得 .
(Ⅱ)在 中用 取代 的位置,有 ,两式相减,可得 ( ),所以 ,两式相减,可得 ,即 ( ),即 ,所以数列 是一个首项为 ,公比为2的等比数列.
在式子 中,令 ,有 ,即 ,所以 ,于是 ,所以 ( ).当 时, ,也满足该式子,所以数列 的通项公式是 .
13. 【答案】(1) ,   (2) 
【考点定位】本题主要考查等差、等比数列、古典概型的基本知识,考查运算求解能力,考查转化与划归思想、必然与或然思想,注意留心学习.
解:(1)设 是数列 的公差, 是 的公比,由题意得:
 
 .
(2)分别从 , 中的前三项中各随机抽取一项,得到基本事件有9个, .符合条件的有2个 ,故所求概率为 .
14. 【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式与数列求和相结合的综合运用.
解:(1)由 与 可得
 , 
故所求 的值分别为 .
(2)当 时, ①        ②
①-②可得 即
 
故有 
而 ,所以 的通项公式为 
【点评】试题出题比较直接,没有什么隐含的条件,只要充分发挥利用通项公式和前 项和的关系式变形就可以得到结论.
15. 【解析】(I) 
 
 
得:当 时, 取极小值
得: 
(II)由(I)得: 
 
当 时, 
当 时, 
当 时, 
得: 当 时, 
当 时, 
当 时, 


16. 【答案及解析】
(1)由已知 
(2)解法一: ,由正弦定理得 
解法二: , ,由此得 得 
所以 , 
【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果.
17.解:(I)由已知得: ,
 ,则 ,
再由正弦定理可得: ,所以 成等比数列.
(II)若 ,则 ,∴ ,
 ,
∴△ 的面积 .
15. 【答案与解析】
(1)由已知 
(2)解法一: ,由正弦定理得 
解法二: , ,由此得 得 
所以 , 
【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果.
19、 【命题意图】本试题主要考查了等差数列与等比数列的概率、通项公式、前 项和公式、数列求和等基础知识,考查化归与转化的思想方法,考查运算能力、推理论证的能力.
(1)设等差数列 的公差为 ,等比数列 的公比为 ,由 ,得 ,由条件得方程组 ,故 
(2)
 
 
 
【点评】该试题命制比较直接,没有什么隐含的条件,就是等比与等差数列的综合应用,但方法多样,第二问可以用错位相减法求解证明,也可用数学归纳法证明,给学生思维空间留有余地,符合高考命题选拔性的原则.
20、 【解析】(1)由正弦定理得:
 
 
(2) 
 
解得: 
21、 (1)证明:由 ,得 ,即 .
因 ,故 ,得 ,
又由题设条件知 , 
两式相减得 ,即 ,
由 ,知 ,因此 
综上, 对所有 成立,从而 是首项为1,公比为 的等比数列.
(2)当 或 时,显然 ,等号成立.
设 , 且 ,由(1)知, , ,所以要证的不等式化为:
 
即证: 
当 时,上面不等式的等号成立.
当 时, 与 ,( )同为负;
当 时,     与 ,( )同为正;  
因此当 且 时,总有 ( )( )>0,即
 ,( ).
上面不等式对 从1到 求和得, 
由此得 
综上,当 且 时,有 ,当且仅当 或 时等号成立.

22、 [解析](1)由已知得,交点A的坐标为 ,对 则抛物线在点A处的切线方程为 
(2)由(1)知f(n)= ,则 
即知, 对于所有的n成立,特别地,取n=2时,得到a≥ 
当 ,
  
 
 
>2n3+1
当n=0,1,2时,显然 
故当a= 时, 对所有自然数都成立
所以满足条件的a的最小值是 .
(3)由(1)知 ,则 , 
下面证明: 
首先证明:当0<x<1时, 
设函数 
 
当 
故g(x)在区间(0,1)上的最小值g(x)min=g 
所以,当0<x<1时,g(x)≥0,即得 
由0<a<1知0<ak<1( ),因此 ,从而
 
 
[点评]本小题属于高档题,难度较大,需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识;考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力;且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法.

23、 [解析]取n=1,得     ①
取n=2,得     ②
又②-①,得        ③
(1)若a2=0, 由①知a1=0, 
(2)若a2 ,   ④
由①④得:   
(2)当a1>0时,由(I)知, 
当  , (2+ )an-1=S2+Sn-1
所以,an= 
所以 
令 
所以,数列{bn}是以 为公差,且单调递减的等差数列.
则 b1>b2>b3>>b7= 
当n≥8时,bn≤b8= 
所以,n=7时,Tn取得最大值,且Tn的最大值为
T7=  
[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一,知识层面:考查等差数列、等比数列、对数等基础知识;第二,能力层面:考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力;第三,数学思想:考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.
24、 [解](1)选取 ,Y中与 垂直的元素必有形式  
所以x=2b,从而x=4 
(2)证明:取 .设 满足 .
由 得 ,所以 、 异号.
因为-1是X中唯一的负数,所以 、 中之一为-1,另一为1,
故1?X 
假设 ,其中 ,则 .
选取 ,并设 满足 ,即 ,
则 、 异号,从而 、 之中恰有一个为-1.
若 =-1,则 ,矛盾;
若 =-1,则 ,矛盾.
所以x1=1 
(3)[解法一]猜测 ,i=1, 2, , n 
记 ,k=2, 3, , n.
先证明:若 具有性质P,则 也具有性质P.
任取 , 、 ? .当 、 中出现-1时,显然有 满足 ;
当 且 时, 、 ≥1.
因为 具有性质P,所以有 , 、 ? ,使得 ,
从而 和 中有一个是-1,不妨设 =-1.
假设 ? 且 ? ,则 .由 ,得 ,与
 ? 矛盾.所以 ? .从而 也具有性质P 
现用数学归纳法证明: ,i=1, 2, , n.
当n=2时,结论显然成立;
假设n=k时, 有性质P,则 ,i=1, 2, , k;
当n=k+1时,若 有性质P,则 
也有性质P,所以 .
取 ,并设 满足 ,即 .由此可得s与t中有且只有一个为-1.
若 ,则 ,所以 ,这不可能;
所以 , ,又 ,所以 .
综上所述,  ,i=1, 2, , n 
[解法二]设 , ,则 等价于 .
记 ,则数集X具有性质P当且仅当数集B关于
原点对称 
注意到-1是X中的唯一负数, 共有n-1个数,
所以 也只有n-1个数.
由于 ,已有n-1个数,对以下三角数阵
 
 

 
注意到 ,所以 ,从而数列的通项公式为
 ,k=1, 2, , n 

25、解:(1) , 
(2)由 ,
由 ,即 ;由 ,即 
 .
(3)由 ,故 ,
 
当 时,以上各式相加得
  
 
当 时,
 
  , 
26、解析:(1)设数列 的公比为 ( )
由 成等差数列,得 ,即 
由 得 ,解得 (舍去)
∴    
(2)证法一:对任意 
 
 
 
所以,对任意 , 成等差数列
证法二   对任意 , 
 
 
 
 
因此,对任意 , 成等差数列.
27、解析:(Ⅰ)由a3+a4+a5=84,a5=73可得 而a9=73,则 , ,于是 ,即 .
(Ⅱ)对任意m∈N﹡, ,则 ,
即 ,而 ,由题意可知 ,
于是 
 ,
即 .
28、 【解析】
解: (1)当 时, 取最大值,即 ,故 ,从而 ,又 ,所以 
(2) 因为 , 
所以 
【点评】本题考查数列的通项,递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用.利用 来实现 与 的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一,要注意 不能用来求解首项 ,首项 一般通过 来求解.运用错位相减法求数列的前n项和适用的情况:当数列通项由两项的乘积组成,其中一项是等差数列、另一项是等比数列.
29、 【答案】解:(1)当 时,符合条件的集合 为: ,
∴  =4.    
( 2 )任取偶数 ,将 除以2 ,若商仍为偶数.再除以2 ,••• 经过 次以后.商必为奇数.此时记商为 .于是 ,其中 为奇数 .
由条件知.若 则 为偶数;若 ,则 为奇数.
于是 是否属于 ,由 是否属于 确定.
设 是 中所有奇数的集合.因此 等于 的子集个数.
当 为偶数〔 或奇数)时, 中奇数的个数是 ( ).
∴ .
【考点】集合的概念和运算,计数原理.
【解析】(1)找出 时,符合条件的集合个数即可.
(2)由题设,根据计数原理进行求解.

30、 【答案】解:(1)∵ ,∴ .
∴  .∴    .
∴数列 是以1 为公差的等差数列.
(2)∵ ,∴ .
∴ .(﹡)
设等比数列 的公比为 ,由 知 ,下面用反证法证明 
若 则 ,∴当 时, ,与(﹡)矛盾.
若 则 ,∴当 时, ,与(﹡)矛盾.
∴综上所述, .∴ ,∴ .
又∵  ,∴ 是公比是 的等比数列.
若 ,则 ,于是 .
又由 即 ,得 .
∴ 中至少有两项相同,与 矛盾.∴ .
∴ .
∴  .
【考点】等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法.
【解析】(1)根据题设 和 ,求出 ,从而证明 而得证.
(2)根据基本不等式得到 ,用反证法证明等比数列 的公比 .
从而得到 的结论,再由 知 是公比是 的等比数列.最后用反证法求出 .
31、 【解析】
解(1)对任意 ,三个数 是等差数列,所以
 
即 亦即 
故数列 是首项为1,公差为4的等差数列.于是 
(Ⅱ)(1)必要性:若数列 是公比为q的等比数列,则对任意 ,有
 由 知, 均大于0,于是
 
 
即 = = ,所以三个数 组成公比为 的等比数列.
(2)充分性:若对于任意 ,三个数 组成公比为 的等比数列,

 ,
于是 得 即
 
由 有 即 ,从而 .
因为 ,所以 ,故数列 是首项为 ,公比为 的等比数列,
综上所述,数列 是公比为 的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N﹡,三个数 组成公比为 的等比数列.
【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得;第二问要从充分性、必要性两方面来证明,利用等比数列的定义及性质易得证.
32、考点分析:考察等差等比数列的通项公式,和前n项和公式及基本运算.
解析:(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ,则 , ,
由题意得  解得 或                 
所以由等差数列通项公式可得
 ,或 .
故 ,或 .                                         
(Ⅱ)当 时, , , 分别为 , , ,不成等比数列;
当 时, , , 分别为 , , ,成等比数列,满足条件.
故                                       
记数列 的前 项和为 .
当 时, ;当 时, ;
当 时,
   
 . 当 时,满足此式.
综上,                                      
33、解析:(Ⅰ)由 ,解得 .
(Ⅱ)由 可得 ( ),两式相减,可得 ,即 ,即 ,所以数列 ( )是一个以 为首项,3为公比的等比数列.由 可得, ,所以 ,即 ( ),当 时, ,也满足该式子,所以数列 的通项公式是 .
(Ⅲ)因为 ,所以 ,所以 ,于是 .
点评:上述证法实质上是证明了一个加强命题 ,该加强命题的思考过程如下.
考虑构造一个公比为 的等比数列 ,其前 项和为 ,希望能得到 ,考虑到 ,所以令 即可.由 的通项公式的形式可大胆尝试令 ,则 ,于是 ,此时只需证明 就可以了.
当然, 的选取并不唯一,也可令 ,此时 , ,与选取 不同的地方在于,当 时, ,当 时, ,所以此时我们不能从第一项就开始放缩,应该保留前几项,之后的再放缩,下面给出其证法.
当 时, ;当 时, ;当 时, .
当 时, ,所以
 .
综上所述,命题获证.
下面再给出 的两个证法.
法1:(数学归纳法)
①当 时,左边 ,右边 ,命题成立.
②假设当 ( ,  )时成立,即 成立.为了证明当 时命题也成立,我们首先证明不等式: ( ,  ).
要证 ,只需证 ,只需证 ,只需证 ,只需证 ,该式子明显成立,所以 .
于是当 时, ,所以命题在 时也成立.
综合①②,由数学归纳法可得,对一切正整数 ,有 .
备注:不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的,其实这是一个错误的认识.
法2:(裂项相消法)(南海中学钱耀周提供)
当 时, 显然成立.当 时, 显然成立.
当 时,  
 ,又因为 ,所以 ( ),所以 ( ),所以
 .
综上所述,命题获证.
34、 【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用.先从函数入手,表示直线方程,从而得到交点坐标,再运用数学归纳法进行证明,根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通项.
解:(1)为 ,故点 在函数 的图像上,故由所给出的两点 ,可知,直线 斜率一定存在.故有
直线 的直线方程为 ,令 ,可求得
 
所以 
下面用数学归纳法证明 
当 时, ,满足 
假设 时, 成立,则当 时, ,
由 即 也成立
综上可知 对任意正整数恒成立.
下面证明 
由 
由 ,故有 即 
综上可知 恒成立.
(2)由 得到该数列的一个特征方程 即 ,解得 或 
      ①      ②
两式相除可得 ,而 
故数列 是以 为首项以 为公比的等比数列
 ,故 .
法二(先完成Ⅱ,用Ⅱ证Ⅰ):(Ⅱ)  的方程为 ,令 得 
(不动点法) 令 ,得函数 的不动点 .
 
 
上两式相除得 .可见数列 是等比数列,其中公比 ,首项为
 .   即为所求.
(Ⅰ)①由上知 (当 时).
②又 (当 时).
③易见,数列  单调递减,所以数列  单调递增,即
 .
综合①②③得: .
【点评】以函数为背景,引出点的坐标,并通过直线与坐标轴的交点得到数列的递推公式.既考查了直线方程,又考查了函数解析式,以及不等式的证明,试题比较综合,有一定的难度.做这类试题那就是根据已知条件,一步一步的翻译为代数式,化简得到要找的关系式即可.

35、 【考点定位】此题作为压轴题难度较大,考查学生分析问题解决问题的能力,考查学生严谨的逻辑思维能力.
解:(1)由题意可知 , , , , ∴ 
(2)先用反证法证明 :
若   则 ,∴ 
同理可知 ,∴    由题目所有数和为    即   ∴ 
与题目条件矛盾
∴ .
易知当 时, 存在   ∴ 的最大值为1
(3) 的最大值为 .
首先构造满足 的 :
 ,
 .
经计算知, 中每个元素的绝对值都小于1,所有元素之和为0,且
 ,
 ,
 .
下面证明 是最大值. 若不然,则存在一个数表 ,使得 .
由 的定义知 的每一列两个数之和的绝对值都不小于 ,而两个绝对值不超过1的数的和,其绝对值不超过2,故 的每一列两个数之和的绝对值都在区间 中. 由于 ,故 的每一列两个数符号均与列和的符号相同,且绝对值均不小于 .
设 中有 列的列和为正,有 列的列和为负,由对称性不妨设 ,则 . 另外,由对称性不妨设 的第一行行和为正,第二行行和为负.
考虑 的第一行,由前面结论知 的第一行有不超过 个正数和不少于 个负数,每个正数的绝对值不超过1(即每个正数均不超过1),每个负数的绝对值不小于 (即每个负数均不超过 ). 因此
 ,
故 的第一行行和的绝对值小于 ,与假设矛盾. 因此 的最大值为 .

36、 【解析】(I)必要条件
当 时, 数列 是单调递减数列
充分条件
数列 是单调递减数列 
得:数列 是单调递减数列的充分必要条件是 
(II)由(I)得: 
①当 时, ,不合题意
②当 时, 
                  
 
当 时, 与 同号,
由 
 
当 时,存在 ,使 与 异号
与数列 是单调递减数列矛盾
得:当 时,数列 是单调递增数列


2011年高考题
一、选择题
1.(天津理4)已知 为等差数列,其公差为-2,且 是 与 的等比中项, 为
 的前 项和, ,则 的值为
 A.-110          B.-90         
 C.90             D.110
【答案】D
2.(四川理8)数列 的首项为 , 为等差数列且 .若则 , ,则
 A.0      B.3        C.8           D.11
【答案】B
【解析】由已知知 由叠加法
 
3.(四川理11)已知定义在 上的函数 满足 ,当 时, .设 在 上的最大值为 ,且 的前 项和为 ,则
 A.3     B.     C.2     D.
【答案】D
【解析】由题意 ,在 上,
 
4.(上海理18)设 是各项为正数的无穷数列, 是边长为 的矩形面积( ),则 为等比数列的充要条件为
 A. 是等比数列。    
 B. 或 是等比数列。
 C. 和 均是等比数列。
 D. 和 均是等比数列,且公比相同。
【答案】D
5.(全国大纲理4)设 为等差数列 的前 项和,若 ,公差 , ,则
 A.8       B.7        C.6         D.5
【答案】D
6.(江西理5) 已知数列{ }的前n项和 满足: ,且 =1.那么 =
 A.1     B.9     C.10  D.55
【答案】A
7.(福建理10)已知函数f(x)=e+x,对于曲线y=f(x)上横坐标成等差数列的三个点A,B,C,给出以下判断:
 ①△ABC一定是钝角三角形 
 ②△ABC可能是直角三角形
 ③△ABC可能是等腰三角形 
 ④△ABC不可能是等腰三角形
 其中,正确的判断是
 A.①③    B.①④    C. ②③    D.②④
【答案】B
二、填空题
8.(湖南理12)设 是等差数列  ,的前 项和,且 ,
则 =          .
【答案】25
9.(重庆理11)在等差数列 中, ,则 __________
【答案】74
10.(北京理11)在等比数列{an}中,a1= ,a4=-4,则公比q=______________; ____________。—2  
【答案】
11.(安徽理14)已知 的一个内角为120o,并且三边长构成公差为4的
 等差数列,则 的面积为_______________.
【答案】
12.(湖北理13)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共为3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为        升。
【答案】
13.(广东理11)等差数列 前9项的和等于前4项的和.若 ,则k=____________.
【答案】10
14.(江苏13)设 ,其中 成公比为q的等比数列, 成公差为1的等差数列,则q的最小值是________
【答案】
三、解答题
15.(江苏20)设M部分为正整数组成的集合,数列 ,前n项和为 ,已知对任意整数k M,当整数 都成立
   (1)设 的值;
   (2)设 的通项公式
本小题考查数列的通项与前 项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识,考查考生分析探究及逻辑推理的能力,满分16分。
 解:(1)由题设知,当 ,
     即 ,
    从而
    所以 的值为8。
   (2)由题设知,当
      ,
     两式相减得
 所以当 成等差数列,且 也成等差数

 从而当 时,  (*)
 且 ,
 即 成等差数列,
 从而 ,
 故由(*)式知
 当 时,设
 当 ,从而由(*)式知
 故
 从而 ,于是
 因此, 对任意 都成立,又由 可知 ,
 解得
 因此,数列 为等差数列,由
 所以数列 的通项公式为
16.(安徽理18)
在数1和100之间插入 个实数,使得这 个数构成递增的等比数列,将这 个数的乘积记作 ,再令  .
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)设 求数列 的前 项和 .
本题考查等比和等差数列,指数和对数的运算,两角差的正切公式等基本知识,考查灵活运用知识解决问题的能力,综合运算能力和创新思维能力.
 解:(I)设 构成等比数列,其中 则
     ①
     ②
 ①×②并利用
 
 (II)由题意和(I)中计算结果,知
 另一方面,利用
 得
 所以
 
17.(北京理20)
 若数列 满足 ,数列 为 数列,记 = .
 (Ⅰ)写出一个满足 ,且 〉0的 数列 ;
 (Ⅱ)若 ,n=2000,证明:E数列 是递增数列的充要条件是 =2011;
 (Ⅲ)对任意给定的整数n(n≥2),是否存在首项为0的E数列 ,使得 =0?如果存在,写出一个满足条件的E数列 ;如果不存在,说明理由。
 
解:(Ⅰ)0,1,2,1,0是一具满足条件的E数列A5。
(答案不唯一,0,1,0,1,0也是一个满足条件的E的数列A5)
(Ⅱ)必要性:因为E数列A5是递增数列,
所以 .
所以A5是首项为12,公差为1的等差数列.
所以a2000=12+(2000—1)×1=2011.
充分性,由于a2000—a1000≤1,
a2000—a1000≤1
……
a2—a1≤1
 所以a2000—a≤19999,即a2000≤a1+1999.
 又因为a1=12,a2000=2011,
 所以a2000=a1+1999.
 故 是递增数列.
 综上,结论得证。
 (Ⅲ)令
 因为
 ……
 
所以

 
因为
所以 为偶数,
所以要使 为偶数,
即4整除 .
当 
 时,有
 
当 的项满足,
当 不能被4整除,此时不存在E数列An,
使得
18.(福建理16)
已知等比数列{an}的公比q=3,前3项和S3= 。
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)若函数 在 处取得最大值,且最大值为a3,求函数f(x)的解析式。

本小题主要考查等比数列、三角函数等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,满分13分。
    解:(I)由
解得
所以
(II)由(I)可知
因为函数 的最大值为3,所以A=3。
因为当 时 取得最大值,
所以

所以函数 的解析式为
19.(广东理20)
 设b>0,数列 满足a1=b, .
(1)求数列 的通项公式;
(2)证明:对于一切正整数n,
解:
   (1)由
 令 ,
 当
 
 
 ①当 时,
 
 ②当
 
 (2)当 时,(欲证 )
 
 
 
  ,
 
 当
 综上所述
20.(湖北理19)
已知数列 的前 项和为 ,且满足:  ,  N*, .
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)若存在 N*,使得 , , 成等差数列,是判断:对于任意的 N*,且 , , , 是否成等差数列,并证明你的结论.
本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识,同时考查推理论证能力,以及特殊与一般的思想。(满分13分)
    解:(I)由已知 可得 ,两式相减可得
    
    即
    又 所以r=0时,
    数列 为:a,0,…,0,…;
    当 时,由已知 ( ),
    于是由 可得 ,
     成等比数列,
     ,
    综上,数列 的通项公式为
   (II)对于任意的 ,且 成等差数列,证明如下:
    当r=0时,由(I)知,
     对于任意的 ,且 成等差数列,
    当 , 时,
    
    若存在 ,使得 成等差数列,
    则 ,
   
    由(I)知, 的公比 ,于是
    对于任意的 ,且
     成等差数列,
    综上,对于任意的 ,且 成等差数列。
21.(辽宁理17)
已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)求数列 的前n项和.
解:
   (I)设等差数列 的公差为d,由已知条件可得
解得
故数列 的通项公式为     ………………5分
   (II)设数列 ,即 ,
 
所以,当 时,
 
        
所以  
综上,数列     ………………12分
22.(全国大纲理20)
设数列 满足 且
(Ⅰ)求 的通项公式;
(Ⅱ)设
解:
   (I)由题设
        即 是公差为1的等差数列。
       又
        所以
   (II)由(I)得
     ,   …………8分
  …………12分
23.(全国新课标理17)
已知等比数列 的各项均为正数,且 .
(I)求数列 的通项公式.
(II)设 ,求数列 的前n项和.
解:
(Ⅰ)设数列{an}的公比为q,由 得 所以 .
由条件可知c>0,故 .
由 得 ,所以 .
故数列{an}的通项式为an= .
(Ⅱ )
 

 
所以数列 的前n项和为
24.(山东理20)
等比数列 中, 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 中的任何两个数不在下表的同一列.
 第一列 第二列 第三列
第一行 3 2 10
第二行 6 4 14
第三行 9 8 18
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)若数列 满足: ,求数列 的前n项和 .
解:(I)当 时,不合题意;
当 时,当且仅当 时,符合题意;
当 时,不合题意。
因此
所以公式q=3,

   (II)因为
 
所以
     所以
当n为偶数时,
 
当n为奇数时,
 
综上所述,
 
25.(上海理22) 已知数列 和 的通项公式分别为 , ( ),将集合
 中的元素从小到大依次排列,构成数列
 。
(1)求 ;
(2)求证:在数列 中.但不在数列 中的项恰为 ;
(3)求数列 的通项公式。
解:⑴   ;
⑵ ① 任意 ,设 ,则 ,即
 
② 假设   (矛盾),∴  
∴ 在数列 中.但不在数列 中的项恰为 。
⑶  ,
 , ,
∵  
∴ 当 时,依次有 ,……
∴  。
26.(四川理20)
    设 为非零实数,
(1)写出 并判断 是否为等比数列。若是,给出证明;若不是,说明理由;
(II)设 ,求数列 的前n项和 .

解析:(1)
 
 
因为 为常数,所以 是以 为首项, 为公比的等比数列。
(2)
 
(2) (1)
 
27.(天津理20)
已知数列 与 满足: ,  ,且
 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)设 ,证明: 是等比数列;
(III)设 证明: .
本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.
   (I)解:由
    可得

 
(II)证明:对任意
  ①
  ②
  ③
②—③,得   ④
将④代入①,可得


因此 是等比数列.
(III)证明:由(II)可得 ,
于是,对任意 ,有
 
将以上各式相加,得
即 ,
此式当k=1时也成立.由④式得
从而
 
所以,对任意 ,
 
 
 
 
 
 
 
对于n=1,不等式显然成立.
所以,对任意
 
 
 
 
 
28.(浙江理19)已知公差不为0的等差数列 的首项 为a( ),设数列的前n项和为 ,且 , , 成等比数列
(1)求数列 的通项公式及
(2)记 , ,当 时,试比较 与 的大小.
本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识,同时考查分类讨论思想。满分14分。
   (I)解:设等差数列 的公差为d,由

因为 ,所以 所以
(II)解:因为 ,所以
 
因为 ,所以
 
当 ,

所以,当

29.(重庆理21)
设实数数列 的前n项和 ,满足
   (I)若 成等比数列,求 和 ;
   (II)求证:对
 
   (I)解:由题意 ,
由S2是等比中项知
由 解得
 

   (II)证法一:由题设条件有

从而对 有
      ①
因 ,由①得
要证 ,由①只要证
即证
此式明显成立.
因此
最后证 若不然
又因 矛盾.
因此
证法二:由题设知 ,
故方程 (可能相同).
因此判别式
又由
因此 ,
解得
因此
由 ,得
 
因此


2010年高考题
一、选择题
1.(2010浙江理)设 为等比数列 的前 项和, ,则
(A)11  (B)5  (C)   (D)
解析:通过 ,设公比为 ,将该式转化为 ,解得 =-2,带入所求式可知答案选D,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式,属中档题
2.(2010全国卷2理)如果等差数列 中, ,那么
(A)14              (B)21            (C)28                (D)35
【答案】C
【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.
【解析】
3.(2010辽宁文)设 为等比数列 的前 项和,已知 , ,则公比
(A)3         (B)4        (C)5        (D)6
【答案】 B
解析:选B. 两式相减得,  , .
4.(2010辽宁理)设{an}是有正数组成的等比数列, 为其前n项和。已知a2a4=1,  ,则
(A)      (B)    (C)     (D) 
【答案】B
【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式,考查了同学们解决问题的能力。
【解析】由a2a4=1可得 ,因此 ,又因为 ,联力两式有 ,所以q= ,所以 ,故选B。
5.(2010全国卷2文)如果等差数列 中, + + =12,那么 + +•••…+ =
(A)14     (B) 21      (C) 28        (D) 35
【答案】C
【解析】本题考查了数列的基础知识。
∵  ,∴  
6.(2010安徽文)设数列 的前n项和 ,则 的值为
(A) 15              (B)  16         (C)   49         (D)64
【答案】 A
【解析】 .
【方法技巧】直接根据 即可得出结论.
7.(2010浙江文)设 为等比数列 的前n项和, 则
(A)-11        (B)-8
(C)5     (D)11
解析:通过 ,设公比为 ,将该式转化为 ,解得 =-2,带入所求式可知答案选A,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式
8.(2010重庆理)在等比数列 中,  ,则公比q的值为
A. 2     B. 3      C. 4      D. 8  
【答案】A

解析:   
9.(2010广东理)已知 为等比数列,Sn是它的前n项和。若 , 且 与2 的等差中项为 ,则 =
A.35            B.33         C.31          D.29
【答案】C
解析:设{ }的公比为 ,则由等比数列的性质知, ,即 。由 与2 的等差中项为 知, ,即 .
   ∴ ,即 . ,即 .
10.(2010广东文)
 
11.(2010山东理)
 
12.(2010重庆文)(2)在等差数列 中, ,则 的值为
(A)5                                        (B)6
(C)8                                        (D)10
【答案】 A
解析:由角标性质得 ,所以 =5
13.(2010江西理)5.等比数列 中, , =4,函数
 ,则 (  )
A.       B.       C.        D. 
【答案】C
【解析】考查多项式函数的导数公式,重点考查学生创新意识,综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中,含有x项均取0,则 只与函数 的一次项有关;得: 。
14.(2010江西理) (   )
A.      B.       C. 2     D. 不存在
【答案】B
【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一:先求和,然后对和取极限。
15.(2010北京理)在等比数列 中, ,公比 .若 ,则m=
(A)9        (B)10        (C)11         (D)12
【答案】C
16.(2010四川理)已知数列 的首项 ,其前 项的和为 ,且 ,则
(A)0        (B)          (C) 1         (D)2
解析:由 ,且
作差得an+2=2an+1
又S2=2S1+a1,即a2+a1=2a1+a1  ?  a2=2a1
故{an}是公比为2的等比数列
Sn=a1+2a1+22a1+……+2n-1a1=(2n-1)a1

【答案】B
17.(2010天津理)(6)已知 是首项为1的等比数列, 是 的前n项和,且 ,则数列 的前5项和为
(A) 或5    (B) 或5   (C)         (D)
【答案】C
【解析】本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质,属于中等题。
显然q 1,所以 ,所以 是首项为1,公比为 的等比数列, 前5项和 .
【温馨提示】在进行等比数列运算时要注意约分,降低幂的次数,同时也要注意基本量法的应用。
18.(2010福建理)3.设等差数列 的前n项和为 ,若 , ,则当 取最小值时,n等于
A.6          B.7          C.8          D.9
【答案】A
【解析】设该数列的公差为 ,则 ,解得 ,
所以 ,所以当 时, 取最小值。
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用,考查二次函数最值的求法及计算能力。
19.(2010全国卷1文)(4)已知各项均为正数的等比数列{ }, =5, =10,则  =
(A)      (B) 7     (C) 6      (D) 
【答案】A
【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识,着重考查了转化与化归的数学思想.
  【解析】由等比数列的性质知 , 10,所以 ,
所以
20.(2010湖北文)7.已知等比数列{ }中,各项都是正数,且 , 成等差数列,则
A.   B.     C.     D
 
21.(2010安徽理)10、设 是任意等比数列,它的前 项和,前 项和与前 项和分别为 ,则下列等式中恒成立的是
A、   B、
C、   D、
【答案】 D
【分析】取等比数列 ,令 得 代入验算,只有选项D满足。
【方法技巧】对于含有较多字母的客观题,可以取满足条件的数字代替字母,代入验证,若能排除3个选项,剩下唯一正确的就一定正确;若不能完全排除,可以取其他数字验证继续排除.本题也可以首项、公比即项数n表示代入验证得结论.
22.(2010湖北理数)如图,在半径为r 的园内作内接正六边形,再作正六边形的内切圆,又在此内切圆内作内接正六边形,如此无限继续下去,设 为前n个圆的面积之和,则  =  
A. 2      B.        C.4     D.6
 

二、填空题
23.(2010辽宁文)设 为等差数列 的前 项和,若 ,则            。
解析:填15.   ,解得 ,
24.(2010福建理)在等比数列 中,若公比 ,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式          .
【答案】
【解析】由题意知 ,解得 ,所以通项  。
【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用,属基础题。
25.(2010江苏卷)函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数,a1=16,则a1+a3+a5=_________
解析:考查函数的切线方程、数列的通项。 
在点(ak,ak2)处的切线方程为: 当 时,解得 ,
所以 。
三、解答题
26.(2010上海文)(本题满分14分)本题共有2个小题,第一个小题满分6分,第2个小题满分8分。
已知数列 的前 项和为 ,且 ,
(1)证明: 是等比数列;
(2)求数列 的通项公式,并求出使得 成立的最小正整数 .
解析:(1) 当n?1时,a1??14;当n≥2时,an?Sn?Sn?1??5an?5an?1?1,所以 ,
又a1?1??15≠0,所以数列{an?1}是等比数列;
(2) 由(1)知: ,得 ,从而 (n?N*);
由Sn?1>Sn,得 , ,最小正整数n?15.
27.(2010陕西文)16.(本小题满分12分)
 已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且a1,a3,a9成等比数列.
 (Ⅰ)求数列{an}的通项;  (Ⅱ)求数列{2an}的前n项和Sn.
 解  (Ⅰ)由题设知公差d≠0,
 由a1=1,a1,a3,a9成等比数列得 = ,
 解得d=1,d=0(舍去),    故{an}的通项an=1+(n-1)×1=n.
 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 =2n,由等比数列前n项和公式得
 Sm=2+22+23+…+2n= =2n+1-2.
28.(2010全国卷2文)(本小题满分12分)
已知 是各项均为正数的等比数列,且
 ,
(Ⅰ)求 的通项公式;
(Ⅱ)设 ,求数列 的前 项和 。
【解析】本题考查了数列通项、前 项和及方程与方程组的基础知识。
(1)设出公比根据条件列出关于 与 的方程求得 与 ,可求得数列的通项公式。
(2)由(1)中求得数列通项公式,可求出bn的通项公式,由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。
29.(2010江西理)22. (本小题满分14分)
证明以下命题:
对任一正整a,都存在整数b,c(b<c),使得 成等差数列。
存在无穷多个互不相似的三角形△ ,其边长 为正整数且 成等差数列。
【解析】作为压轴题,考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。
    (1)考虑到结构要证 ,;类似勾股数进行拼凑。
证明:考虑到结构特征,取特值 满足等差数列,只需取b=5a,c=7a,对一切正整数a均能成立。
结合第一问的特征,将等差数列分解,通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形,再证明互不相似,且无穷。
证明:当 成等差数列,则 ,
分解得:
选取关于n的一个多项式, 做两种途径的分解
 
对比目标式,构造 ,由第一问结论得,等差数列成立,
考察三角形边长关系,可构成三角形的三边。
下证互不相似。
任取正整数m,n,若△m,△ 相似:则三边对应成比例
 , 
由比例的性质得: ,与约定不同的值矛盾,故互不相似。
30.(2010安徽文)(21)(本小题满分13分)
设 是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在 轴的正半轴上,且都与直线 相切,对每一个正整数 ,圆 都与圆 相互外切,以 表示 的半径,已知 为递增数列.
(Ⅰ)证明: 为等比数列;
(Ⅱ)设 ,求数列 的前 项和.
【命题意图】本题考查等比列的基本知识,利用错位相减法求和等基本方法,考察抽象概括能力以及推理论证能力.
【解题指导】(1)求直线倾斜角的正弦,设 的圆心为 ,得 ,同理得 ,结合两圆相切得圆心距与半径间的关系,得两圆半径之间的关系,即 中 与 的关系,证明 为等比数列;(2)利用(1)的结论求 的通项公式,代入数列 ,然后用错位相减法求和.
 
【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题,通常利用几何知识,并结合图形,得出关于数列相邻项 与 之间的关系,然后根据这个递推关系,结合所求内容变形,得出通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题,若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数列时,通常是利用前n项和 乘以公比,然后错位相减解决.
31.(2010重庆文)(16)(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分. )
已知 是首项为19,公差为-2的等差数列, 为 的前 项和.
(Ⅰ)求通项 及 ;
(Ⅱ)设 是首项为1,公比为3的等比数列,求数列 的通项公式及其前 项和 .
 
32.(2010浙江文)(19)(本题满分14分)设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足 +15=0。
(Ⅰ)若 =5,求 及a1;
(Ⅱ)求d的取值范围。
 
33.(2010北京文)(16)(本小题共13分)
已知 为等差数列,且 , 。
(Ⅰ)求 的通项公式;
(Ⅱ)若等差数列 满足 , ,求 的前n项和公式
解:(Ⅰ)设等差数列 的公差 。
         因为
         所以        解得
所以
   (Ⅱ)设等比数列 的公比为
         因为
所以    即 =3
所以 的前 项和公式为
34.(2010四川理)(21)(本小题满分12分)
已知数列{an}满足a1=0,a2=2,且对任意m、n∈N*都有
a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2
(Ⅰ)求a3,a5;
(Ⅱ)设bn=a2n+1-a2n-1(n∈N*),证明:{bn}是等差数列;
(Ⅲ)设cn=(an+1-an)qn-1(q≠0,n∈N*),求数列{cn}的前n项和Sn.
本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想,以及推理论证、分析与解决问题的能力.
解:(1)由题意,零m=2,n-1,可得a3=2a2-a1+2=6
       再令m=3,n=1,可得a5=2a3-a1+8=20………………………………2分
(2)当n∈N *时,由已知(以n+2代替m)可得
a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8
于是[a2(n+1)+1-a2(n+1)-1]-(a2n+1-a2n-1)=8
即  bn+1-bn=8
所以{bn}是公差为8的等差数列………………………………………………5分
(3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为b1=a3-a1=6,公差为8的等差数列
则bn=8n-2,即a2n+=1-a2n-1=8n-2
另由已知(令m=1)可得
an= -(n-1)2.
那么an+1-an= -2n+1
           = -2n+1
           =2n
于是cn=2nqn-1.
当q=1时,Sn=2+4+6+……+2n=n(n+1)
当q≠1时,Sn=2•q0+4•q1+6•q2+……+2n•qn-1.
两边同乘以q,可得
          qSn=2•q1+4•q2+6•q3+……+2n•qn.
上述两式相减得
       (1-q)Sn=2(1+q+q2+……+qn-1)-2nqn
               =2• -2nqn
               =2•
所以Sn=2•
综上所述,Sn= …………………………12分
35.(2010全国卷1理)(22)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)
已知数列 中,  .
(Ⅰ)设 ,求数列 的通项公式;
(Ⅱ)求使不等式 成立的 的取值范围 .
 
36.(2010山东理)(18)(本小题满分12分)
已知等差数列 满足: , , 的前n项和为 .
(Ⅰ)求 及 ;
(Ⅱ)令bn= (n N*),求数列 的前n项和 .
【解析】(Ⅰ)设等差数列 的公差为d,因为 , ,所以有
 ,解得 ,
所以 ; = = 。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,所以bn= =  = ,
所以 = =  ,
即数列 的前n项和 = 。
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和,熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。
37.(2010湖南文)20.(本小题满分13分)
给出下面的数表序列:
 
其中表n(n=1,2,3  )有n行,第1行的n个数是1,3,5, 2n-1,从第2行起,每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。
(I)写出表4,验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明);
 (II)每个数列中最后一行都只有一个数,它们构成数列1,4,12 ,记此数列为
  求和:  
  
38.(2010全国卷2理)(18)(本小题满分12分)
已知数列 的前 项和 .
(Ⅰ)求 ;
(Ⅱ)证明: .
【命题意图】本试题主要考查数列基本公式 的运用,数列极限和数列不等式的证明,考查考生运用所学知识解决问题的能力.
【参考答案】
 
【点评】2010年高考数学全国I、Ⅱ这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式,具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用,也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.
估计以后的高考,对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等,这种考查方式还要持续.


 
39.(2010北京理)(20)(本小题共13分)
已知集合 对于 , ,定义A与B的差为
 
A与B之间的距离为
(Ⅰ)证明: ,且 ;
(Ⅱ)证明: 三个数中至少有一个是偶数
(Ⅲ) 设P ,P中有m(m≥2)个元素,记P中所有两元素间距离的平均值为 (P).
  证明: (P)≤ .
(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)
证明:(I)设 , , 
      因为 , ,所以 , 
      从而
     又
由题意知 , ,   .
当 时, ;
     当 时,
所以
(II)设 , , 
    , , .
   记 ,由(I)可知
            
            
            
    所以 中1的个数为 , 的1的
个数为 。
    设 是使 成立的 的个数,则
    由此可知, 三个数不可能都是奇数,
    即 , , 三个数中至少有一个是偶数。
(III) ,其中 表示 中所有两个元素间距离的总和,
设 种所有元素的第 个位置的数字中共有 个1, 个0
则 =
由于  
所以 
从而
40.(2010天津文)(22)(本小题满分14分)
在数列 中, =0,且对任意k , 成等差数列,其公差为2k.
(Ⅰ)证明 成等比数列;
(Ⅱ)求数列 的通项公式;
(Ⅲ)记 ,证明 .
【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法,满分14分。
(I)证明:由题设可知, , , , ,
 。
从而 ,所以 , , 成等比数列。
(II)解:由题设可得
所以
             
              .
由 ,得  ,从而 .
所以数列 的通项公式为 或写为 , 。
(III)证明:由(II)可知 , ,
以下分两种情况进行讨论:
当n为偶数时,设n=2m
若 ,则 ,
若 ,则
 
      
       .
所以 ,从而
当n为奇数时,设 。
 
 
所以 ,从而
综合(1)和(2)可知,对任意 有
41.(2010天津理)(22)(本小题满分14分)
在数列 中, ,且对任意 . , , 成等差数列,其公差为 。
(Ⅰ)若 = ,证明 , , 成等比数列( )
(Ⅱ)若对任意 , , , 成等比数列,其公比为 。
【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式,前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。
(Ⅰ)证明:由题设,可得 。
所以
=
=2k(k+1)
由 =0,得
于是 。
所以 成等比数列。
(Ⅱ)证法一:(i)证明:由 成等差数列,及 成等比数列,得
当 ≠1时,可知 ≠1,k 
从而
所以 是等差数列,公差为1。
(Ⅱ)证明: , ,可得 ,从而  =1.由(Ⅰ)有
 
所以
因此,
 以下分两种情况进行讨论:
当n为偶数时,设n=2m( )
若m=1,则 .
若m≥2,则
 +
 
所以
(2)当n为奇数时,设n=2m+1( )
 
 
所以 从而 •••
综合(1)(2)可知,对任意 , ,有
证法二:(i)证明:由题设,可得
 所以
 
由 可知 。可得 ,
所以 是等差数列,公差为1。
(ii)证明:因为 所以 。
所以 ,从而 , 。于是,由(i)可知所以 是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得 =  ,故 。
从而 。
所以 ,由 ,可得
 。
于是,由(i)可知
以下同证法一。
42.(2010湖南理)21.(本小题满分13分)
数列 中, 是函数 的极小值点
(Ⅰ)当a=0时,求通项 ;
(Ⅱ)是否存在a,使数列 是等比数列?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由。
 
 
 
 
43.(2010江苏卷)19、(本小题满分16分)
设各项均为正数的数列 的前n项和为 ,已知 ,数列 是公差为 的等差数列。
(1)求数列 的通项公式(用 表示);
(2)设 为实数,对满足 的任意正整数 ,不等式 都成立。求证: 的最大值为 。
[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识,考查探索、分析及论证的能力。满分16分。
(1)由题意知: , 
 ,
化简,得:
 ,
当 时, ,适合 情形。
故所求
(2)(方法一)
 ,  恒成立。
  又 , ,
故 ,即 的最大值为 。
(方法二)由 及 ,得 , 。
于是,对满足题设的 , ,有
 。
所以 的最大值 。
另一方面,任取实数 。设 为偶数,令 ,则 符合条件,且 。
于是,只要 ,即当 时, 。
所以满足条件的 ,从而 。
因此 的最大值为 。

第二部分  两年模拟题
全国各地市2012年模拟试题分类汇编:数列
【山东省日照市2012届高三12月月考文】(12)若数列 ,则称数列 为“调和数列”.已知正项数列 为“调和数列”,且 ,则 的最大值是
A.10    B.100  C.200  D.400
【答案】B
【解析】由已知得 为等差数列,且 所以
【2012三明市普通高中高三上学期联考文】设等差数列 的前 项和为  、 是方程 的两个根,
A.          B.5         C.         D.-5
【答案】A
【解析】 、 是方程 的两个根, + =1, 
【2012黄冈市高三上学期期末考试文】已知等比数列 的公比q=2,其前4项和 ,则 等于  (    )
 A.8 B.6 C.-8 D.-6
【答案】A
【解析】本题主要考查等比数列及其前n项的和公式. 属于基础知识、基本运算的考查.
 
【山东实验中学2012届高三一次诊断文】14. 已知数列 为等比数列,且. ,则 =________.
【答案】16
【解析】解:
 
【山东实验中学2012届高三一次诊断文】3. 设 为等差数列 的前《项和,已知 ,那么
A:2    B. 8 C. 18 D. 36
【答案】C
【解析】解:因为
 
因此答案为C
【山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试理】4. 已知{an}为等差数列,其公差为-2,且a7是a3与a9的等比中项,Sn为{an}的前n项和,n∈N*,则S10的值为(    )
(A). -110 (B). -90
(C). 90 (D). 110
【答案】D
【解析】解:a7是a3与a9的等比中项,公差为-2,所以a72=a3•a9,所以a72=(a7+8)(a7-4),所以a7=8,所以a1=20,
所以S10= 10×20+10×9/2×(-2)=110。故选D
【山东省微山一中2012届高三10月月考理】3.已知 为等差数列 的前n项的和, , ,则 的值为   (    )
A. 6               B.7              C.8             D.9
【答案】 D
【解析】 由条件  可转化为  解得:  这里考查等差数列通项公式与求和公式以及解方程组.
【2012江西师大附中高三下学期开学考卷文】已知 为等差数列,且 -2 =-1,  =0,则公差 =(    ) 
A.-2   B.-    C.    D.2
【答案】B
【解析】本题主要考查等差数列的通项公式. 属于基础知识、基本运算的考查.
   -2 =-1,  =0,得  ,得
【2012年石家庄市高中毕业班教学质检1文】已知各项均为正数的等比数列{ }, • =16,则 • • 的值
  A.16    B.32   C.48    D.64
【答案】 D
【解析】本题主要考查集合的等比数列及其通项公式的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查.等比数列{ }, • = • = =16,,各项均为正数则,∴
∴ • • =  即 • • 的值为64.
【2012厦门期末质检理5】在等差数列{an}等an>0,且a1+a2+…+a10=30,则a5•a6的最大值等于
 A. 3        B. 6              C.9               D. 36
【答案】C
【解析】等差数列的性质:项数和相等,则项的和也相等,所以由a1+a2+…+a10=30得 ,由基本不等式得a5•a6 ,选C;
【2012粤西北九校联考理13】在数列 中, , 为数列 的前项和且 ,则    ;
【答案】 
 【解析】因为 ,两式相减得 ,求得
【2012宁德质检理2】设 为等差数列 的前n项和,若 ,则 等于  (    )
 A.7 B.15 C.30 D.31
【答案】B
【解析】由等差数列通项公式得:
【2012浙江宁波市期末文】设等比数列 的前 项和为 ,若 , ,则公比 (     )
(A)        (B) 或       (C)      (D) 或  
【答案】A
【解析】由 , 相减得 ,即 。
【2012安徽省合肥市质检文】已知数列 满足 ,则 =  (    )
 A.64 B.32 C.16 D.8
【答案】B
【解析】由题 , ,故 ,又 ,可得 ,故 ,选B。
【2012山东青岛市期末文】对于正项数列 ,定义 为 的“光阴”值,现知某数列的“光阴”值为 ,则数列 的通项公式为         .   
【答案】
【解析】由 可得
 ①,
 ②
①-②得 ,所以 。
【2012江西南昌市调研文】等差数列 中, 且 , 是数列的前n项的和,则下列正确的是 (   )
A.S1,S2,S3均小于0, S4,S5,S6 …均大于0      B. S1,S2,…S5均小于0 , S6,S7 …均大于0 
C.S1,S2,…S9均小于0 , S10,S11 …均大于0    D.S1,S2,…S11均小于0 ,S12,S13 …均大于0 
【答案】C
【解析】由题可知 ,故 ,而 ,故选C。
【2012广东佛山市质检文】等差数列 中, ,且 成等比数列,则 (     )
A.     B.          C.          D.
【答案】B
【解析】由题 , ,即 ,解得 ,选B。
 【2012北京海淀区期末文】已知数列 满足: ,那么使 成立的 的最大值为(   )
(A)4           (B)5         (C)24       (D)25
【答案】C
【解析】由 可得 ,即
 ,要使 则 ,选C。
【2012广东韶关市调研文】设数列 是等差数列,  ,  , 则此数列 前 项和等于(    )
A.   B.    C.     D.
【答案】B
【解析】因数列 是等差数列,所以 ,即 ,从而
 ,选B。
【2012韶关第一次调研理5】已知等比数列 中,各项都是正数,且 成等差数列,则 等于( )
   A.         B.         C.         D. 
【答案】C
【解析】因为 成等差数列,所以 , =
【2012海南嘉积中学期末理4】等差数列 的通项公式为 ,其前 项和为 ,则数列 的前10项和为(    )
A、70       B、75              C、100     D、120
【答案】B
【解析】因为等差数列 的通项公式为 ,所以 所以 ,
【2012黑龙江绥化市一模理5】已知数列{ },若点   ( )在经过点 的定直 l上,则数列{ }的前9项和 =(   )
A. 9                  B.  10                   C. 18                 D.27
【答案】D
【解析】点 ( )在经过点 的定直 l上, ,根据等差数列性质得: =27
【2012泉州四校二次联考理6】已知数列 满足 ,且 ,且 ,则数列 的通项公式为(  )
A.        B.      C.       D. 
【答案】B
【解析】由 且 得, , , ,相加得 , 
【2012泉州四校二次联考理9】满足 ,它的前 项和为 ,则满足 的
最小 值是(  )
A.9            B.10         C.11            D.12
【答案】C
【解析】因为 ,所以 , , ,则满足 的最小 值是11;
【2012延吉市质检理7】等差数列 中, 是一个与n无关的常数,则该常数的可能值的集合为(    )
 A.  B.  C.       D.
【答案】B
【解析】等差数列 中, 与 无关的常数,所以 对 恒成立,所以
【2012深圳中学期末理11】已知等差数列{ }的前n 项和为 .若 ,则 等于             .
【答案】80
【解析】因为 ,所以 。
【2012黄冈市高三上学期期末考试文】若 是等差数列 的前n项和,且 ,则S11的值为            。
【答案】 22
【解析】本题主要考查等差数列及其前n项和公式. 属于基础知识、基本运算的考查.
 
 
 
【2012厦门市高三上学期期末质检文】已知数列 为等差数列,且a1+a6+a11=3,则a3+a9=     。
【答案】2
【解析】本题主要考查等差数列的通项公式、等差中项. 属于基础知识、基本运算的考查.
∵数列 为等差数列,∴a1+a11=2a6      ∴3a6=3 得a6=1    ∴ a3+a9=2a6=2
【2012金华十校高三上学期期末联考文】已知 是公差为d的等差数列,若 则 =     。
【答案】 2
【解析】本题主要考查等差数列的通项公式. 属于基础知识、基本运算的考查.
 
 
【2012金华十校高三上学期期末联考文】已知各项均不相等的等差数列 的前四项和为14,且 恰为等比数列 的前三项。
 (1)分别求数列 的前n项和
 (2)记为数列 的前n项和为 ,设 ,求证:
【解析】本题主要考查等差数列、等比数列及不等式等基础知识,考查运算求解能力及应用意识.  :
【2012年西安市高三年级第一次质检文】已知等差数列 中,a1=1,a3=- 3.
(I)求数列 的通项公式;
(II)若数列 的前众项和为-35,求k的值.
【解析】
 
【2012唐山市高三上学期期末统一考试文】在等差数列 中,
   (1)求数列 的通项公式;
   (2)设数列 的前 项和为 ,求
【解析】题主要考查等差数列的概念、通项公式,考查运算求解能力及裂项求和的数学方法. 
解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,依题意,
a1+d+a1+2d=7,a1+3d+a1+4d+a1+5d=18,解得a1=2,d=1,
∴an=2+(n-1) ×1=n+1.          …5分
(Ⅱ)S3n=3n(a1+a3n)2=3n(2+3n+1)2=9n(n+1)2,
1S3n=29n(n+1)= 2 9( 1 n-1n+1).          …9分
∴1S3+1S6+…+1S3n= 2 9[(1- 1 2)+( 1 2- 1 3)+…+( 1 n-1n+1)]=2n9(n+1). …12分
 【2012年石家庄市高中毕业班教学质检1文】 已知等差数列{ }, 为其前n项的和, =0, =6,n∈N*.
    (I)求数列{ }的通项公式;
(II)若 =3 ,求数列{ }的前n项的和.
【解析】本题主要考查了等差数列的通项公式、等差数列的前 项和数列的综合应用.。考查了基础知识、基本运算、基本变换能力.

解:(Ⅰ)依题意 ………………2分
解得                 
                    ……………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知   ,            
 ,所以数列 是首项为 ,公比为9的等比数列,……………7分
    .
所以数列 的前 项的和 .………………10分
【2012厦门市高三上学期期末质检文】某软件公司新开发一款学习软件,该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏.为了激发闯关热情,每闯过一关都奖励若干慧币(一种网络虚拟币).该软件提供了三种奖励方案:第一种,每闯过一关奖励40慧币;第二种,闯过第一关奖励4慧币,以后每一关比前一关多奖励4慧币;第三种,闯过第一关奖励0.5 慧币,以后每一关比前一关奖励翻一番(即增加1倍),游戏规定:闯关者须于闯关前任选一种奖励方案.
(Ⅰ)设闯过n ( n∈N,且n≤12)关后三种奖励方案获得的慧币依次为An,Bn,Cn,试求出An,Bn,Cn的表达式;
(Ⅱ)如果你是一名闯关者,为了得到更多的慧币,你应如何选择奖励方案?

【解析】本题主要考查等差数列、等比数列及不等式等基础知识,考查运算求解能力及应用意识,考查方程与函数、分类讨论与整合等思想方法. 
 
【2012江西师大附中高三下学期开学考卷文】数列 满足 , ( ).
(1)设 ,求数列 的通项公式 ;
(2)设 ,数列 的前 项和为 ,求 .
 【解析】本题主要考查了等比数列数列的前 项和数列的综合应用. 属于难题。考查了基础知识、基本运算、基本变换能力.
解:(Ⅰ)由已知可得 ,即 ,
即             即 
∴ 
累加得
又     ∴      
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 ,   ∴  ,
 
        
∴ 
    
  【2012三明市普通高中高三上学期联考文】已知数列 的前 项和是 ,且  .
 (Ⅰ)求数列 的通项公式;
 (Ⅱ)记 ,求数列 的前 项和  .
【解析】本题主要考查了等差数列、等比数列的概念以及它们的前 项和. 属于容易题。考查了基础知识、基本运算、基本变换能力.
解:(Ⅰ)当 时,   , ,∴ ;  ………… 1分
  即 ,又     ,  ……………… 4分
 ∴数列 是以 为首项, 为公比的等比数列.        ………………… 5分
   
 (Ⅱ)由(Ⅰ)知  ,                  ………………… 7分 
    ∴   ………………… 9分
【2012黄冈市高三上学期期末考试文】已知数列 中, ,前n项和为
 (1)求数列 的通项公式;
 (2)设数列 的前n项和为 ,求满足不等式 的n值。
【解析】本题主要考查等比数列及不等式等基础知识,考查运算求解能力、转化能力。
解:(I)解法1:由 ,得 当 时
 ∴  , 即   ,∴ ………………………3分
又 ,得 ,  ∴ ,   ∴
∴数列 是首项为1,公比为 的等比数列∴ ……………………………6分
(Ⅱ)∵数列 是首项为1,公比为 的等比数列,
∴数列 是首项为1,公比为 的等比数列,∴ …9分
又∵ ,∴不等式 <   即得: > ,
∴n=1或n=2………………………………………………………………………………13分
【2012武昌区高三年级元月调研文】某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学,该商场向他提供了三种付酬方案:第一种,每天支付38元;第二种,第一天付4元,第二天付8元,第三天付12元,依此类推;第三种,第一天付0.4元,以后每天支付的薪酬是前一天薪酬的2倍,1:作时间为n天.
(I)工作n天,记三种付费方式薪酬总金额依次为An,Bn,Cn,写出An,Bn,Cn关于n的表达式;
(II)如果n=10,你会选择哪种方式领取报酬?
【解析】本题主要考查了应用问题、等差数列、等比数列的概念以及它们的前 项和. 属于容易题。考查了基础知识、基本运算、基本变换能力.
解:(Ⅰ)三种付酬方式每天金额依次为数列 , , ,它们的前 项和依次分别为 .依题意,
第一种付酬方式每天金额组成数列 为常数数列, .
第二种付酬方式每天金额组成数列 为首项为4,公差为4的等差数列,
则 .
第三种付酬方式每天金额组成数列 为首项是0.4,公比为2的等比数列,
则 .       
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,当 时,
 ,
 ,
 .
所以 .
答:应该选择第三种付酬方案.
【山东省济宁市邹城二中2012届高三第二次月考文】18、(本小题满分12分)
设递增等差数列 的前 项和为 ,已知 , 是 和 的等比中项,
(I)求数列 的通项公式;
(II)求数列 的前 项和 .
【答案】18、解:在递增等差数列 中,设公差为 ,
  
 解得        7分
     
      
 所求 ,    12分
【山东省济宁市邹城二中2012届高三第二次月考文】19.(本题满分14分)已知 ,点 在曲线 上 且       (Ⅰ)求证:数列 为等差数列,并求数列 的通项公式;
(Ⅱ)设数列 的前n项和为 ,若对于任意的 ,存在正整数t,使得 恒成立,求最小正整数t的值.
【答案】19  ,   2分
所以 是以1为首项,4为公差的等差数列. 2分
 , ,        3分
(Ⅱ)  .2分
 ….2分
对于任意的 使得 恒成立,所以只要 2分
 或 ,所以存在最小的正整数 符合题意1分
【山东省济南市2012届高三12月考】28. (本小题满分8分)
已知 是一个公差大于0的等差数列,且满足 .
(Ⅰ)求数列 的通项公式:
(Ⅱ)等比数列 满足: ,若数列 ,求数列               的前n项和 .
【答案】28.(本小题满分8分)解:(Ⅰ)设等差数列 的公差为d,则依题设d>0     
由 .得                  ①     ---------------1分
由 得           ②     ---------------2分
由①得 将其代入②得 。即
∴ ,又 ,代入①得 ,            ---------------3分
∴ .                     ------------------4分
(Ⅱ)
    ∴ ,                     ---------------5分
 
                       ---------------6分
错位相减可得:
整理得:
 ---------------7分
∴                 ---------------8分

 


2011届高三模拟题
题组一
一、选择题
1.(浙江省杭州二中2011届高三11月月考试题文)
已知数列 中, ,则数列 通项公式 为 (    )
 A.  B.  C.  D.
答案 C.
2.(甘肃省甘谷三中2011届高三第三次检测试题)已知等差数列 的前n项和为 ,若 (      )
A.18         B. 36             C. 54             D. 72
答案 D.
3.(福建省安溪梧桐中学2011届高三第三次阶段考试理)已知公差不为0的等差数列 满足 成等比数列, 项和,则
   的值为( )
A.2          B.3         C.          D.4
答案 A.
4.(福建省三明一中2011届高三上学期第三次月考理)数列 是公差不为0的等差数列,且 为等比数列 的连续三项,则数列 的公比为(  )
A.               B.4                 C.2                 D.
答案 C.
5.(福建省四地六校2011届高三上学期第三次联考试题理)已知数列{an}的通项公式为   则{an}的最大项是(    )
A.a1       B.a2        C.a3          D.a4
答案 B.
6.(浙江省杭州二中2011届高三11月月考试题文)
等比数列 中,  则 =                                    (    )
A.  B.  C.  D.
答案 B.
7.(福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理) 已知等差数列 的公差为 ,且 成等比数列,则 等于(   )
A.-4           B.-6              c C.-8        D.8
答案 D.
8.(浙江省温州市啸秋中学2010学年第一学期高三会考模拟试卷)已知数列{an}的前n项和Sn=
 A.  B.  C.         D.
答案 A.
9. (广东省华附、中山附中2011届高三11月月考理)已知等差数列 的前 项和为 ,且 ,则过点 和
 N*)的直线的斜率是  
A.4 B.3 C.2 D.1
答案 A.
10.(甘肃省甘谷三中2011届高三第三次检测试题)设 是公差为正数的等差数列,若 , ,则
      (    )
 A.     B.       C.         D.
答案 B.
11.(北京四中2011届高三上学期开学测试理科试题)已知等差数列 的前 项和为 ,若 ,且A、B、C三点共线(该直线不过
    原点 ),则 =( )
  A.100    B. 101    C. 200    D. 201
答案 A.
12.(贵州省遵义四中2011届高三第四次月考理)在等差数列 中, ,则此数列的前13项的和等于(    )
    A.13           B.26          C.8          D.16
答案 A.
13.(河南省郑州市四十七中2011届高三第三次月考文)在等比数列 中,已知 ,那么 =  
(A)3                (B)4              (C)12           (D)16
答案 B.
14.(黑龙江大庆实验中学2011届高三上学期期中考试理)若一个等差数列前 项的和为 ,最后 项的和为 ,且所有项的和为 ,则这个数列有(    )
 项    项    项    项
答案 A.
15.(浙江省杭州二中2011届高三11月月考试题文)已知等差数列 的前 项和为 ,且 ,则
 (    )
 A.   B.   C.         D. 
答案 D.
16.(福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理)
如果数列 等于 (    )
 A.256 B.510 C.512 D. 1024
答案 D.
17.(北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考)(理科)已知数列 满足 则 的最小值为           (    )
 A .10                 B.10.5             
C .9                               D .8
答案 B.
18.(重庆市重庆八中2011届高三第四次月考理)等差数列 满足: ,则 =   (    )
 A.          B.0       C.1        D.2
答案 B.
19.(重庆市南开中学高2011级高三1月月考理)
在数列 中, 的值为  (    )
 A.55050 B.5051 C.4950 D.4951
答案 D.
20.(浙江省诸暨中学2011届高三12月月考试题文)在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则2a6-a4的值为               
A.24       B.22       C.20          D.-8
答案 A.
21.(浙江省温州市啸秋中学2010学年第一学期高三会考模拟试卷)若{a }为等差数列,且a +a +a =39,则a +a +…+a 的值为
A.117         B.114          C.111         D.108
答案 A.
22.(甘肃省甘谷三中2011届高三第三次检测试题)已知 成等比数列,且曲线 的顶点是 ,则 等于(  )
A.3     B.2      C.1          D.
答案 B.
23.(浙江省温州市啸秋中学2010学年第一学期高三会考模拟试卷)数列 满足  
若 ,则 
 A.  B.    C.   D.
答案 B.
24.(宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理)
等比数列 首项与公比分别是复数 是虚数单位 的实部与虚部,则数列 的前 项的和为    (    )
 A.      B.         C.       D.
【答案】A
【分析】根据复数实部和虚部的概念求出这个等比数列的首项和公比,按照等比数列的求和公式进行计算。
【解析】该等比数列的首项是 ,公比是 ,故其前 项之和是 。
【考点】数列、复数
【点评】本题把等比数列和复数交汇,注意等比数列的求和公式是分公比等于 和不等于 两种情况,在解题中如果公比是一个不确定的字母要注意分情况解决。
25.(北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考)(文科)设 是等比数列 的前项和, ,则 等于          (  )
 A.                    B.           
C.                        D.
答案 B
26.(北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考)
已知函数 ,把函数 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为                           (  )
 A.  B.
 C.  D.
答案  B
27.(北京五中2011届高三上学期期中考试试题理)已知等差数列 的前20项的和为100,那么 的最大值为(     )
  25             50          100        不存在
答案 A.
28.(重庆市重庆八中2011届高三第四次月考理)
设 若 的最小值为 (    )
 A.4          B.8          
 C.1         D .
答案 A.
29.(浙江省嵊州二中2011届高三12月月考试题理)已知函数 的定义域为 ,当 时, ,
且对任意的实数 ,等式  成立,
若数列 满足 ,且 ,则 的值为(    )
 (A)4017 (B)4018 (C)4019 (D)4021
答案  D.

二、填空题
30.(浙江省杭州二中2011届高三11月月考试题文)已知等差数列 的前 项和为 ,且 若 则
=            .
答案  7.
31.(福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理)已知等比数列 各项均为正数,前 项和为 ,若 , .则 ▲▲.
答案  31.
32.(福建省安溪梧桐中学2011届高三第三次阶段考试理)已知数列1, a1, a2, a3 , a4 ,4成等差数列,1, b1, b2, b3, 4成等比数列,则 _______.
答案 
33.(河南省郑州市四十七中2011届高三第三次月考文)若数列 满足:对任意的 ,只有有限个正整数 使得 成立,记这样的 的个数为 ,则得到一个新数列 .例如,若数列 是 ,则数列 是 .已知对任意的 , ,则        ,             .
答案 n2
34.(浙江省杭州二中2011届高三11月月考试题文)数列 的前 项和为 ,且数列 的各项按如下规则排列:
 
则 =          ,若存在正整数 ,使 则         .
答案   、 20.
35.(重庆市重庆八中2011届高三第四次月考理)
在 且 成等差数列。则 的范围是                 
答案  .
36.(浙江省诸暨中学2011届高三12月月考试题文)由9个正数组成的矩阵 中,每行中的三个数成等差数列,且   , , 成等比数列.给出下列结论:①第2列中的 , , 必成等比数列;②第1列中的 、 、 不一定成等比数列;③ ;④若这9个数之和等于9,则 .其中正确的序号有   ▲  (填写所有正确结论的序号).
答案:①②③
三、简答题
37.(浙江省温州市啸秋中学2010学年第一学期高三会考模拟试卷) 已知 为等比数列,且
(1)若 ,求 ;(2)设数列 的前 项和为 ,求 .
答案  解:设 ,由题意,解之得 ,进而
(1)由 ,解得              ………3分
(2)
                           ………3分
38.(北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考)(本小题满分13分)在数列{ }中, ,并且对任意 都有 成立,令 .
 (Ⅰ)求数列{ }的通项公式 ;
 (Ⅱ)求数列{ }的前n项和 .
 解:(1)当n=1时, ,当 时,
由 得 所以
所以数列 是首项为3,公差为1的等差数列,
所以数列 的通项公式为
(2)
 
39.(福建省四地六校2011届高三上学期第三次联考试题理)(本题满分13分)
数列  满足 
(1)求  及数列 的通项公式;(2)设 ,求 ;
答案  (本题满分13分)
数列  满足 
(1)求  及数列 的通项公式;(2)设 ,求 ;
解:(1)
            ----2分
一般地, 即 - =2
即数列{ }是以 ,公差为2的等差数列。   ----4分
    
即数列{ }是首项为 ,公比为 的等比数列 --6分
                             ----8分
(2)
  ---13分
40.(浙江省杭州二中2011届高三11月月考试题文)(本小题满分15分)
已知数列 , 中, 为公比 的等比数列,且  , ,其中 分别为数列 , 的前 项和
(I)求数列 的通项公式;
(II)求数列 的通项公式;
(III)求数列 的前 项和 ;
答案 (本小题满分15分)
(1)
(2) 
(3) 
41.(浙江省诸暨中学2011届高三12月月考试题文)(本小题满分14分)
已知数列 是公比为  的等比数列,且 成等差数列.
      (Ⅰ) 求 的值;
      (Ⅱ) 设数列 是以2为首项, 为公差的等差数列,其前 项和为 ,
试比较 与 的大小.
答案  (Ⅰ) 解:
         
(Ⅱ) 解:
        
        
        
           
                .
42.(重庆市南开中学高2011级高三1月月考理)(13分)已知数列 是公比大于1的等比数列, 为数列 的前 项和, ,且 成等差数列。
   (1)求数列 的通项;
   (2)令 的前 项和
答案
 
43.(重庆市重庆八中2011届高三第四次月考理)(本小题满分12分)
 设数列 的前 项和为 
 (1)求数列 的通项公式 
 (2)是否存在正整数 使得    ?若存在,求出 值;若不存在,说明理由.
答案
 
44.(河南省郑州市四十七中2011届高三第三次月考文)(本小题满分12分)
已知 是公差不为零的等差数列, ,且 成等比数列.
 (I)求数列 的通项;       
(II)记 ,求数列 的前 项和
答案  解:设公差为 ,则:
解得:
 
     
45.(贵州省遵义四中2011届高三第四次月考理)(12分)已知数列 满足 
(1)求 (4分)
(2)设 求证: ;(4分)
(3)求数列 的通项公式。(4分)
答案  (理)解答:(1)由已知 ,即
 ,即 有
由  ,有
 ,
即     同时,
 
(2)由(1): ,有
     
(3)由(2):     
而 ,
 是以2为首项,2为公比的等比数列,
 ,
即 ,而 ,
有:
 
(文)解答:(1)
证明:
 
(2)       
而 ,
 是以2为首项,2为公比的等比数列;
(3)由(2)可知: ,
即 ,而 ,
有:
 
46.(宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理)
(本小题满分12分)
在各项均为负数的数列 中,已知点 在函数 的图像上,且 .
(1)求证:数列 是等比数列,并求出其通项;
(2)若数列 的前 项和为 ,且 ,求 .
【分析】(1)把点的坐标代入直线方程,根据等比数列的定义进行证明,显然公比是 ,再根据条件 求出首项即可求出这个数列的通项公式;(2)数列 是一个等比数列和一个等差数列的对应项的和组成的数列,分别求和即可。

【解析】(1)因为点 在函数 的图像上,
 所以 故数列 是公比 的等比数列
 因为 由于数列 的各项均为负数,则 所以 ………….6分
 (2)由(1)知, ,
所以 …12分
【考点】数列。
【点评】本题考查等比数列的概念、通项,等比数列和等差数列的求和。高考对数列的考查难度在下降,其考查的重点转变为考查数列中的基本问题、两类基本数列,以及数列求和方面。解决两类基本数列问题的一个重要思想是基本量方法,即通过列出方程或者方程组求出等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比。数列求和要掌握好三个方法,一个是本题使用的分组求和,第二个是错位相减法,第三个是裂项求和法。
47.(福建省安溪梧桐中学2011届高三第三次阶段考试理)(本小题满分13分)在数列 .
(1)求证:数列 是等差数列,并求数列 的通项公式 ;
(2)设 ,数列 项和为 ,是否存在正整整m,使得  对于 恒成立,若存在,求出m的最小值,若不存在,说明理由.
答案  解:(1)证明:
 
 数列 是等差数列                                        …………3分
           

                                                   …………6
(2)
 
                             ………………10分
依题意要使 恒成立,只需
解得 所以m的最小值为1                 ………………12分
     ………13分
48.(福建省三明一中2011届高三上学期第三次月考理)(本题满分14分)
已知数列 中, .
(1)写出 的值(只写结果)并求出数列 的通项公式;
(2)设 ,若对任意的正整数 ,当 时,不等式 恒成立,求实数 的取值范围。
答案  解:(1)∵   
∴       ……………2分
     当 时, ,
     ∴   ,
∴        …………………5分
当 时, 也满足上式, ∴数列 的通项公式为 …6分
(2)
       
                …………………8分
 令 ,则 , 当 恒成立
∴   在 上是增函数,故当 时,
即当 时,                               ……………11分
    要使对任意的正整数 ,当 时,不等式 恒成立,则须使 ,即 ,
∴     ∴ 实数 的取值范围为 …14分
另解: 
 
∴  数列 是单调递减数列,∴
49.(福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理)(本小题满分12分)已知函数 ,数列 满足 .
   (Ⅰ)求数列 的通项公式 ;
   (Ⅱ)求 ;
   (Ⅲ)求证:
答案
 
50.(福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理) (本小题满分13分)已知数列 ,定义其倒均数是 。
   (1)求数列{ }的倒均数是 ,求数列{ }的通项公式 ;
   (2)设等比数列 的首项为-1,公比为 ,其倒数均为 ,若存在正整数k,使 恒成立,试求k的最小值。
答案 【解】:(1)依题意,
即 …………………2分

两式相减得,得    ∴ ……………………4分
当n=1时,    ∴ =1适合上式…………………5分
故 …………………………6分
(2)由题意,     ∴ …………….. 8分
 ………………10分
不等式 恒成立,即 恒成立。…………12分
经检验: 时均适合题意,即K的最小值为7。……………………13分
51.(福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理)(本小题满分14分)已知f(x)=ln(1+x)-x.
(Ⅰ)求f(x)的最大值;
(Ⅱ)数列{an}满足:an+1= 2f ' (an) +2,且a1=2.5, = bn,
⑴数列{ bn+ }是等比数列     ⑵判断{an}是否为无穷数列。
(Ⅲ)对n∈N*,用⑴结论证明:ln(1+ + )< ;
答案 【解】:⑴x>-1, f'(x)=  -1= ,
x (-1,0) 0 (0,+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘
∴极大值为f(0)=0,也是所求最大值;……………………4分
(Ⅱ)an+1= ,∴an+1-1= ,∴ =-1- ,……………………5分
则bn+1=-2 bn-1, ∴bn+1+ =-2(bn+ ), b1+ =1,
∴数列{ bn+ }是首项为1,公比为-2的等比数列,…………………7分
∴bn+ =(-2)n-1, ……………………8分
∴an= +1= +1,……………………9分
明显a1=2.5>-1,n≥2时(-2)n-1- <-2, ∴an>0>-1恒成立,
∴数列{an}为无穷数列。……………………11分
(Ⅲ)由⑴ln(1+x) ≤x,∴ln(1+ + )< ln(1+ )3……………………12分
=3 ln(1+ )≤3× = 成立。         ………14分
52.(甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理)(12分)数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1= Sn(n=1,2,3,…).
证明:(1).数列{ }是等比数列;
(2).Sn+1=4an.
答案  .(12分)
证明:(1).数列{ }是等比数列;
(2).Sn+1=4an.
(1)由  得:  即
所以        所以数列 是以1为首项,公比为2的等比数列.
(2)由(1)得         
所以  
所以   
53.(广东省华附、中山附中2011届高三11月月考理)
(14分)已知数列 中, ,且
(1)求证:  ;
(2)求数列 的通项公式;
(3)设 , 是数列 的前 项和,求 的解析式;
答案
解: 
故 ,.……………………………………1分
又因为
则  ,即 .………………………3分
所以 ,  ……………………………………4
(2)  
 =   …………………………………8
因为 =                        
所以,当 时,  ………………………9
当 时, ……….(1)
 得 ……(2)
 
                    =
        …………………………12
综上所述:   ……………………………14
54.(广东省惠州三中2011届高三上学期第三次考试理)已知曲线 上有一点列 ,点 在x轴上的射影是 ,且 , .
(1)求数列 的通项公式;
(2)设四边形 的面积是 ,求证:
答案  解:(1)由 得 ∵   , ∴  , 
故 是公比为2的等比数列
∴ .…………………………………………………………6分
(2)∵  ,  
∴ , 而  , …………………9分
 ∴四边形 的面积为:
 
∴ ,
故 .……………………………………………14分
55.(浙江省杭州二中2011届高三11月月考试题文)(本小题满分15分)
甲、乙两容器中分别盛有浓度为 , 的某种溶液500ml, 同时从甲、乙两个容器中各取出100ml溶液,将其倒入对方的容器搅匀,这称为一次调和. 记 , ,经 次调和后甲、乙两个容器的溶液浓度为 , 
(I)试用 , 表示 , ;
(II)求证:数列{ - }是等比数列,数列{ + }是常数列;
(III)求出数列{ },{ }的通项公式.
答案 (本小题满分15分)
(1)
 
(2)两式相减
              所以等比
两式相加
 =…….=    所以常数列;
(3)    
 
56.(重庆市重庆八中2011届高三第四次月考理)(本小题满分12分)
 已知数列 满足递推式: 
 (1)若 的通项公式;
 (2)求证: 
答案  解:(1)
    ………………5分
 (2)由(2)知
 
 
 
57.(重庆市南开中学高2011级高三1月月考理)(22分)已知函数 的反函数为 ,数列 满足:
     处的切线在y轴上的截距为
   (1)若数列 的通项公式;
   (2)若数列 的取值范围;
   (3)令函数
 
证明:
答案
 
 
 
58.(浙江省嵊州二中2011届高三12月月考试题理)(本小题满分14分)从集合 中,抽取三个不同元素构成子集 .
(Ⅰ)求对任意的 ,满足 的概率;
(Ⅱ)若 成等差数列,设其公差为 ,求随机变量 的分布列与数学期望.
答案  (Ⅰ)基本事件数为 ,满足条件 ,及取出的元素不相邻,则用插空法,有 种
        故所求事件的概率是                               7分
(Ⅱ)分析三数成等差的情况:
      的情况有7种,123,234,345,456,567,678,789
      的情况有5种,135,246,357,468,579
     的情况有3种,147,258,369
     的情况有1种,159
分布列是
  1 2 3 4
        
 .                           14分

题组二
一、选择题
1.(2011湖南嘉禾一中) 若 的展开式中的二项式系数之和为256,则展开式中x4的系数为 (    )
 A.6 B.7 C.8 D.9
答案 B.
2.(四川成都市玉林中学2010—2011学年度)等差数列 中,若
 ,则 的值为:
 (A)180         (B)240           (C)360          (D)720
答案 C.
 
3.(四川省成都外国语学校2011届高三10月理)已知 是首项为1的等比数列, 是 的前n项和,且 ,则数列 的前5项和为(  )
A. 或5       B. 或5       C.           D.
答案 C.
4.(四川省成都外国语学校2011届高三10月理)已知数列 ,若 是公比为2的等比数列,则 的前n项和 等于(   )
A.     B.   
C.     D.
答案 D
5.(四川省成都外国语学校2011届高三10月理) 是等差数列,首项 >0, , ,则使前 项和  成立的的最大正整数n是(  )
A.2003 B.2004          C.4006             D.4007
答案 C
6.(四川省成都外国语学校2011届高三10月理)设函数 ( ,且 )的最小值为  ,最大值为  若 ,则数列{ }是                             (   )
A.公差不等于0的等差数列   B.公比不等于1的等比数列
C.常数列       D.以上都不是
答案 C.
7.(四川省成都外国语学校2011届高三10月理)已知函数 是定义在 上的单调函数,且对任意的正数 都有   ,若数列{ }的前n项和为Sn,且满足 ,则 =(   )
   A. 9                 B.               C.                   D.
答案 C.
8.(浙江省桐乡一中2011届高三理)在等差数列 中,若前5项和 ,则 等于
 (A)4 (B)-4 (C)2 (D)-2
答案 A.
9.(四川省成都外国语学校2011届高三10月理)已知等比数列{ }中,各项都是正数,且 , 成等差数列,则
A.   B.     C.     D.
答案 C.
10. (浙江省吴兴高级中学2011届高三文)在等差数列 中, ,则    (     )
 (A)24        (B)22         (C)20          (D) 
答案 A.
11.(广东省湛江一中2011届高三理)设 是公差不为0的等差数列, 且 成等比数列,则 的前 项和 =
A.         B.       C.       D.
答案 A.
12.(福建省四地六校联考2011届高三文)  在等比数列 中,已知 ,那么 =  
 A.3                  B.4          
C.12                  D.16
答案 B.
13.(广东省湛江一中2011届高三10月月考理)
设 是公差不为0的等差数列, 且 成等比数列,则 的前 项和 =
A.         B.       C.       D.
答案  A.
14.(2011湖南嘉禾一中)设 恒成立,那么                                                  (    )
 A.  B.a>1 C.  D.a<1
答案 D.
15.(成都市玉林中学2010—2011学年度)等差数列 中,若 ,则 的值为:
 (A)180         (B)240           (C)360          (D)720
答案 C.
 
16.(四川成都市玉林中学2010—2011学年度)在重庆召开的“市长峰会”期间,某高校有14名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班,每班4人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同的排班种数为
(A)     (B)       (C)    (D) 
答案 B .解:有14名志愿者,但每天早、中、晚三班,每班4人,只需12人,所以应先从14人中选出12人,然后这12人再来分组排班。               
 故选B
17.(成都市玉林中学2010—2011学年度)函数 的定义域为
(A)    (B)    (C)(1,3)  (D)[1,3]
答案 A. 解:        
 故选A
18.(江苏泰兴市重点中学2011届)若函数 ,满足对任意的 、 ,当 时, ,则实数 的取值范围为___________
答案, ,
19.(江西省2011届文)集合 ,则a的值为(    )
A.0     B.1 C.2 D.4
答案 D.
20.(江西省2011届理)已知 , ,
则下列关系式中正确的是                 (    )
 A    B            D
答案 D.
21.(江苏省2011届数学理)右图是函数 的部分图象,则函数 的零点所在的区间是                     (    )
 A          B     
            D
答案 B.
22.(四川省成都市2011届高三理)函数 的定义域为 
A.                         B.  
    C.(1,3)                           D.[1,3]
答案 A.
23.(四川省成都市2011届高三文)等差数列 中,若 ,则 的值为:
 A.10         B.11           C.12           D.14
答案  C.
24.(浙江省杭州市高级中学2011届高三考文)函数
的定义域是                                (    )
 A       B        D
答案 D。
25.(四川省成都外国语学校2011届高三10月文)在等差数列{ }中, ,则 =(   )
   A.                 B.                  C.               D.
答案 D.
26.(浙江省桐乡一中2011届高三文)  若Sn是等差数列{an}的前n项和,有 ,则 的值为(  )
  (A)12             (B)18 
(C)22             (D)44
答案 C.
27.(山西省四校2011届高三文)设Sn为等比数列 的前 项和,8a2+a5=0,则 =(    )
A.  -11           B.  -8            C.  5                D. 11
答案 D.
28.(福建省福州八中2011届高三理)已知 ,函数 的零点个数为
  A.2   B.3        C.4        D.2或3或4
答案 A.
29.(福建省四地六校联考2011届高三理)关于 的方程 的根在 内,则实数 的取值范围是(   )
A.         B.       C.         D. 
答案 B.
30.(广东省湛江一中2011届高三10月月考理)
函数 (0<a<1)的图象大致是

 


     
 A.             B.            C.               D.
答案 C.
31. (广西桂林中学2011届高三11月月考试题理.)
若 ,则(   )
A.      B.        C.         D.  
答案
32.(广西桂林中学2011届高三11月月考试题文)
设曲线 在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为 ,则 的值为(       )
 A.  B.       C.       D.1
答案 B.

二、填空题
33.(江苏泰兴市重点中学2011届文)已知等差数列 中,若 ,则      
答案 11.
34.(江苏泰兴市重点中学2011届文)已知等差数列 ,满足 ,若数列 满足 ,则  的通项公式
答案  ,
35.(四川省成都外国语学校2011届高三10月理)设{ }为公比q>1的等比数列,若 和 是方程 的两根,则
 __________。
答案 18.
36.(浙江省桐乡一中2011届高三文)观察下列等式:
 ;…,根据这些等式反映的结果,可以得出一个关于自然数n的等式,这个等式可以表示为        .
答案 
37.(广东省广州东莞五校2011届高三理)已知等比数列 的前三项依次为 , , ,则         .
答案   
38.(浙江省吴兴高级中学2011届高三文) 已知数列 是等比数列,且 , , ,则数列 的公比          .
答案 
39.(河北省唐山一中2011届高三理).给出下列命题
(1)“数列 为等比数列”是“数列 为等比数列”的充分不必要条件.
(2)“ ”是 在区间 上为增函数”的充要条件.
(3) 是直线 与直线 互相垂直的充要条件.
(4)设 分别是 的内角 的对边,若 .则 是 的必要不充分条件.  
其中真命题的序号是                   (写出所有真命题的序号)
答案   (1)(4)
40.(江苏泰兴市重点中学2011届文)已知等比数列 中,各项都是正数,且 成等差数列,则公比 __________.
答案  
41.(2011湖南嘉禾一中)对正整数n,设曲线 处的切线与y轴交点的纵坐标为 ,
 (i) =            
 (ii)数列 的前n项和Sn=            
答案 (i) (3分);    (ii)  (2分)
42.(江苏泰兴2011届高三文)已知-7, , ,-1四个实数成等差数列,-4, , , ,-1五个实数成等比数列,则 =__________.
答案 -1
43.(四川成都市玉林中学2010—2011学年度)在 的展开式中,常数项是                  。
答案 -252
解: 
     
44.(江苏泰兴市重点中学2011届文)已知 的零点在区间 上,则 的值为
答案 1.
45.(江苏泰兴市重点中学2011届理)函数 的定义域是____________________.
答案 
46.(江苏泰兴市重点中学2011届理)已知函数 的定义域和值域都是 ,则实数a的值是   ________
答案 2.
47.(江苏泰兴市重点中学2011届理)函数 的值域为________________.
答案  
48. (浙江省杭州市高级中学2011届高三文)已知 , ,则下列关系式中正确的是                 (    )
 A    B            D
答案 D.
49.(江苏省2011高三理)已知 ,若 ,则 的取值范围是     
答案 3.
50.(江苏泰兴2011届高三文)已知等比数列 中,各项都是正数,且 成等差数列,则公比 __________.
答案 
51.(江苏泰兴市重点中学2011届理)已知 在 上是增函数,则 的取值范围是       .
答案   。

三 解答题
52.(四川成都市玉林中学2010—2011学年度)(本题满分12分)
已知数列 是等差数列,
(1)求数列 的通项公式;
(2)令 ,求数列 的前n项和Sn.
答案  解(1)
 
 (2)
 
53.(江苏泰兴市重点中学2011届)(14分)已知
   (1)若 ,求 的值;
   (2)若 ,求 的值。
答案  (本题满分14分)
 解:(1) …………3分
  …………6分
   (2) …………8分
  …………10分
 又 ……12分
  ………………14分
54.(江苏泰兴市重点中学2011届)(16分)已知数列 是等差数列,
   (1)判断数列 是否是等差数列,并说明理由;
   (2)如果 ,试写出数列 的通项公式;
   (3)在(2)的条件下,若数列 得前n项和为 ,问是否存在这样的实数 ,使 当且仅当 时取得最大值。若存在,求出 的取值范围;若不存在,说明理由。
答案  解:(1)设 的公差为 ,则
 
 
 
  数列 是以 为公差的等差数列…………4分
   (2)
 
  两式相减:
  …………6分
 
  …………8分
 
 
 
  …………10分
   (3)因为当且仅当 时 最大
  …………12分
 即
  …………15分
55. (山东省实验中学2011届高三文理)已知数列 的首项 ( 是常数,且 ), ( ),数列 的首项 , ( )。
(1)证明: 从第2项起是以2为公比的等比数列;
(2)设 为数列 的前n项和,且 是等比数列,求实数 的值;
(3)当 时,求数列 的最小项.(提示:当 时总有 )
答案
解:(1)∵

    (n≥2)
由 得 , ,
∵ ,∴  ,
即 从第2项起是以2为公比的等比数列。
(2) 
当n≥2时,
∵ 是等比数列, ∴ (n≥2)是常数,
∴ ,即  。
(3)由(1)知当 时, ,
所以 ,
 
 
显然最小项是前三项中的一项。
当 时,最小项为 ;
当 时,最小项为 或 ;
当 时,最小项为 ;
当 时,最小项为 或 ;
当 时,最小项为 。
56.(2011湖南嘉禾一中)(本小题满分12 分)
已知{  }是整数组成的数列,a1 = 1,且点 在函数 的图象上,
   (1)求数列{ }的通项公式;
   (2)若数列{ }满足  = 1, ,求证:
答案  解:由已知得
 所以数列{ }是以1为首项,公差为1的等差数列;(2分)
 即 =1+ …………………………4分
 (2)由(1)知  ……………………6分
 
 
   …………………………8分
 
  ……………………10分
 所以: …………………………12分
57.(江苏泰兴市重点中学2011届)(16分) , 
 ( a>1,且 )
   (1) 求m 值 ,
   (2) 求g(x)的定义域;
   (3) 若g(x)在 上恒正,求a的取值范围。
答案  (1) 是奇函数,
 
 
   (2)由(1)
  必须满足
  的定义域为
   (3) 上恒正,
 即
 
  的取值范围是(2,+∞)
58.(江苏省2011理)已知集合A= ,B= .
⑴当a=2时,求A B;    ⑵求使B A的实数a的取值范围.
答案 33. 解:(1)当a=2时,A=(2,7),B=(4,5)∴ A B=(4,5).
(2)∵ B=(2a,a2+1),当a< 时,A=(3a+1,2)
要使B A,必须 ,此时a=-1;
当a= 时,A= ,使B A的a不存在; 当a> 时,A=(2,3a+1)
要使B A,必须 ,此时1≤a≤3.
综上可知,使B A的实数a的取值范围为[1,3]∪{-1}
59.(江苏泰兴2011届高三理)
设n为大于1的自然数,求证: .
答案 34.证明:(放缩法)
 解:不妨设正方体的棱长为1,以 为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则各点的坐标为A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),
  (1,0,1), (0,1,1),E( ,1,0), F(0 ,  ,0)
60.(四川省成都外国语学校2011届高三10月理)(14分)已知函数
(1)讨论函数 的单调性;
(2)设 ,如果对任意 , ,求 的取值范围。
答案  (Ⅰ) 的定义域为(0,+∞).  .
当 时, >0,故 在(0,+∞)单调增加;
当 时, <0,故 在(0,+∞)单调减少;
当-1< <0时,令 =0,解得 .
则当 时, >0; 时, <0.
故 在 单调增加,在 单调减少.
(Ⅱ)不妨假设 ,而 <-1,由(Ⅰ)知在(0,+∞)单调减少,从而
        ,
等价于
 ,            ①
令 ,则
①等价于 在(0,+∞)单调减少,即
           .
         从而
         故a的取值范围为(-∞,-2]。
  
61.(四川省成都外国语学校2011届高三10月文)(12分)数列 的各项均为正数, 为其前n项和,对于任意的 ,总有 成等差数列,又记 。
(1)求数列 的通项公式;
(2)求数列 的前n项和Tn,并求使Tn> 对 都成立的最大正整数m的值。
答案  解:(1)∵ ,相减得 ,∴
       (2)  
∴Tn= =
∵ >1    ∴ >   ∴ 最小值
∴ >        ∴ <10
∴最大正整数 =9
62.(四川省成都外国语学校2011届高三10月文)(14分)设 ,且 有唯一解, , 。
(1)求实数 ;
(2)求数列 的通项公式;
(3)若 ,数列 是首项为1,公比为 的等比数列,记 ,求 的前n项和。
答案  解:(1)     ∴ 有唯一解      ∴
(2)     ∴        ∴
     ∴
(3) ,又
     ∴
     ∵         
     ∴
63.(浙江省桐乡一中2011届高三文)本小题满分(15分)已知函数 在 处取得极值.
(1)求实数a的值;
(2)若关于x的方程 在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数b的取值范围;
(3)证明:对任意正整数n,不等式 都成立.
答案  解:(1)     
 时, 取得极值,
    (3分)
故 ,解得a=1,
经检验a=1符合题意.           
(2)由a=1知


则 上恰有两个不同的实数根等价于
 在[0,2]上恰有两个不同的实数根。
  
当 上单调递增
当 上单调递减。
依题意有                 
(3) 的定义域为  
由(1)知   
令 (舍去),
 单调递增;
当x>0时, 单调递减。
 上的最大值。 
 (当且仅当x=0时,等号成立)
对任意正整数n,取 得,
           
64.(浙江省吴兴高级中学2011届高三文)已知数列 的前n项和为 ,对任意的 ,点 ,均在函数 的图像上.
(Ⅰ)求数列 的通项公式;     
(Ⅱ)记 ,求使 成立的 的最大值.
 答案  解:(Ⅰ)由题意得      ,则 
         所以 …………………………………5分
         又   所以 ………………………………………7分
(Ⅱ)因为 所以
 ……9分
   则   所以 得 ……14分
    所以使 成立的 的最大值为9. …15分
65.(浙江省吴兴高级中学2011届高三文)已知函数 图象上一点 处的切线方程为
 (1)求 的值;
(2)若方程 在 内有两个不等实根,求 的取值范围(其中 为自然对数的底数)
答案 40.解:(1)
 ……………………………………………4分
解得: ……………………………………………………………………7分
(2)
 则
 是增函数;
当 ……………………………11分
则方程 内有两个不等实根的充要条件是 …………13分
即 ……………………………………………………………………15分
66.(河北省唐山一中2011届高三理)设M={x| }
N={x| }
求M∩N≠ 时a的取值范围.
答案  解:由不等式 得:
  解得:-2<x<-1或4<x<7
所以,M={x|-2<x<-1或4<x<7}……………………5分
由不等式
解得x<9a,所以,N={x|x<9a}……………………7分
要使M∩N≠Ø,结合数轴可以得到:9a>-2
即:     ……………………10分
67.(河北省唐山一中2011届高三理)已知数列 满足 =-1,
 ,数列 满足
(1)求数列 的通项公式.
(2)设数列 的前 项和为 ,求证:当 时, .
(3)求证:当 时,
答案 42.解:(1)由题意 ,即
            ………………………………4分
(2)  当 时,
平方则
叠加得
 
    ……………………………………8分
(3)当 时, 即 时命题成立
     假设 时命题成立,即
 
     当 时,
 
=   即 时命题也成立
综上,对于任意 , ………………12分
68.(江苏省2011届高三理)已知函数 ( )是偶函数
   (1)求 的值;
   (2)设 ,若函数 与 的图像有且只有一个公共点,求实数 的取值范围
答案  (本题满分15分)
 解(1) ∵ 函数  是偶函数
 ∴ 
  恒成立
 ∴  ,则 ………………………………………5分
 (2)  ,
 函数 与 的图象有且只有一个公共点,即
 方程 只有一个解 
 由已知得
 ∴ 
 方程等价于
 设  ,则 有一解
 若 ,设 ,∵ ,∴恰好有一正解
 ∴  满足题意
 若 ,即 时,不满足题意
 若 ,即 时,由 ,得 或
 当 时, 满足题意
 当 时, (舍去)
 综上所述实数 的取值范围是 ……………………10分
69.(福建省四地六校联考2011届高三文)(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn,
   (I)求证数列{an}为等差数列;
   (II)设数列 的前n项和为Tn,求 .

答案  (本小题满分12分)
证明:(I)由
得  即 ……………4分
 是以1为首项,4为公差的等差数列      ……………6分
       (II)由(I)得
 
 
      …………12分

 ……

 

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